M1 溫習筆記：正態分佈的應用
哈囉！歡迎來到統計學中最實用課題之一的溫習筆記：正態分佈的應用。
你有沒有想過，公司如何知道每種尺碼的T恤要生產多少件，或者老師如何判斷一份新測驗的「好」分數是多少？答案往往藏在正態分佈中，它也以「鐘形曲線」的別名而聞名。
在本章中，我們將會超越理論層面，學習如何運用正態分佈來解決現實世界的問題。我們會學懂如何計算概率（例如學生考獲90分以上的機會），以及如何找出特定數據點（例如考入前10%所需的分數）。如果一開始覺得有點難，別擔心，我們會一步一步地拆解！
快速回顧：甚麼是標準化？
在我們深入新問題之前，讓我們先回顧最重要的工具：標準化。大多數現實生活中的數據都是正態分佈的，但它們都有自己獨特的平均值（$$\mu$$）和標準差（$$\sigma$$）。這就好比每個國家都有自己的貨幣一樣。為了方便比較，我們需要將它們轉換成一個共同的標準。
在統計學中，我們的「共同標準」就是標準正態分佈，它的平均值永遠是0，標準差永遠是1。我們將它表示為 $$Z \sim N(0, 1)$$.
將任何值 (X) 從正態分佈 $$N(\mu, \sigma^2)$$ 轉換為標準值 (Z) 的神奇公式就是z分數公式：
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$其中：
- X 是你的特定數據點（例如，學生的身高）。
- $$\mu$$ (mu) 是分佈的平均值。
- $$\sigma$$ (sigma) 是分佈的標準差。
常見錯誤提示！
問題通常會提供方差（$$\sigma^2$$），而不是標準差（$$\sigma$$）。記住，在使用公式之前，務必先將方差取平方根！如果 $$X \sim N(100, 25)$$，那麼 $$\mu = 100$$ 而 $$\sigma = \sqrt{25} = 5$$。
第一部分：從數值找概率（「順向問題」）
這是最常見的問題類型。你會獲得一個（或多個）X值，然後需要找出與之相關的概率。
例題：某學校學生的身高呈正態分佈，平均值為165厘米，標準差為5厘米。隨機抽選一名學生，他身高矮於172厘米的概率是多少？
找概率的逐步指南
讓我們一起解決這個問題。過程總是相同的：X → Z → 概率。
第一步：識別變量。
我們已知身高的正態分佈 X，所以 $$X \sim N(165, 5^2)$$。
平均值，$$\mu = 165$$
標準差，$$\sigma = 5$$
我們感興趣的值是 $$X = 172$$。我們想找出 $$P(X < 172)$$。
第二步：將X值標準化為Z分數。
使用公式：
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{172 - 165}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$$
所以，找出 $$P(X < 172)$$ 與找出 $$P(Z < 1.4)$$ 完全相同。
第三步：繪畫曲線（非必要但強烈建議！）。
快速畫一條鐘形曲線。中心標記為0。標記你的Z分數（1.4在0的右邊），並劃出你需要的區域。在這種情況下，你需要劃出1.4左邊的所有區域。這有助你形象化答案！
第四步：使用標準正態分佈表。
在你的表格中查找Z分數1.4。表格會給你Z分數左側的面積，這正是 $$P(Z < 1.4)$$ 的意思。
從表格中，$$P(Z < 1.4) = 0.9192$$。
因此，隨機抽選一名學生，他身高矮於172厘米的概率是 0.9192 或 91.92%。
處理不同類型的概率
-
大於 ( > )
例如，找出 $$P(X > 172)$$
我們知道曲線下的總面積是1。所以，$$P(X > 172) = 1 - P(X < 172)$$。
根據我們的計算，這是 $$1 - 0.9192 = 0.0808$$。 -
介乎兩值之間 ( < X < )
例如，找出學生身高介乎160厘米和172厘米之間的概率，即 $$P(160 < X < 172)$$。
首先，將兩個X值都轉換為Z分數。
$$Z_1 = \frac{160 - 165}{5} = -1.0$$ $$Z_2 = \frac{172 - 165}{5} = 1.4$$ 所以我們需要找出 $$P(-1.0 < Z < 1.4)$$。
邏輯是：（大Z分數左側的面積）-（小Z分數左側的面積）。
$$P(-1.0 < Z < 1.4) = P(Z < 1.4) - P(Z < -1.0)$$
使用表格和對稱性（$$P(Z < -1.0) = P(Z > 1.0) = 1 - P(Z < 1.0)$$），我們得到：
$$0.9192 - (1 - 0.8413) = 0.9192 - 0.1587 = 0.7605$$
第一部分要點總結
要找出概率，務必先將你的X值轉換為Z分數。然後使用標準正態分佈表。記住，表格給出的是左側的面積。利用繪圖和「總面積 = 1」的規則來找出你需要的任何其他面積。
第二部分：從概率找數值（「逆向問題」）
現在我們把問題反過來。你會獲得一個概率（曲線下的面積），然後需要找出與之對應的特定X值。
例題：一次測驗的成績呈正態分佈，平均值為70，方差為64。要獲得「A」級成績，學生必須考入前10%。獲得「A」級成績所需的最低分數是多少？
找數值的逐步指南
這次，過程是：概率 → Z → X。
第一步：識別變量和所需面積。
成績X的分佈為 $$X \sim N(70, 64)$$。
平均值，$$\mu = 70$$
方差，$$\sigma^2 = 64 \implies$$ 標準差，$$\sigma = \sqrt{64} = 8$$。（別忘了這一步！）
我們正在尋找分數「x」，使得考獲高於它的概率是10%（即0.10）。
所以，我們需要找出「x」，其中 $$P(X > x) = 0.10$$。
第二步：繪畫曲線並找出表格可讀取的面積。
畫出鐘形曲線。「前10%」是右側很小的一塊區域。表格讀取的是左側的面積。如果我們z分數右側的面積是0.10，那麼左側的面積就是 $$1 - 0.10 = 0.90$$。
所以我們需要找出z分數，其中 $$P(Z < z) = 0.90$$。
第三步：反向使用標準正態分佈表。
在表格中查找最接近0.9000的概率值。你會找到0.8997（對應Z=1.28）和0.9015（對應Z=1.29）等值。0.8997更接近。所以，我們將使用相應的Z分數。
Z = 1.28（大約）。
第四步：將Z分數還原以找出X值。
重新排列Z分數公式以解出X：$$X = \mu + Z\sigma$$
現在，代入數值：
$$X = 70 + (1.28)(8) = 70 + 10.24 = 80.24$$
因此，獲得「A」級成績所需的最低分數是 80.24。
第二部分要點總結
要從概率找出數據值（X），首先弄清楚你所需點的左側面積。然後反向使用表格找出該面積的Z分數，再利用「還原標準化」公式 $$X = \mu + Z\sigma$$ 轉換回最終答案。
第三部分：綜合應用——文字題
這就是你展現實力的時候了！現實世界的問題不會直接說「找出P(X > 50)」。你需要閱讀題目，提取關鍵資訊，然後判斷它是「順向」還是「逆向」問題。
解題策略
- 仔細閱讀：情境是甚麼？（例如，體重、分數、時間）。
- 提取數值：平均值（$$\mu$$）是甚麼？方差（$$\sigma^2$$）或標準差（$$\sigma$$）是甚麼？
- 確定目標：
- 你是否獲提供X值，並被要求找出概率、百分比或比例？ → 這是順向問題（X → Z → P）。
- 你是否獲提供概率、百分比（如「前5%」）或比例，並被要求找出特定數值、分數或量度？ → 這是逆向問題（P → Z → X）。
- 執行計劃：按照第一部分或第二部分的步驟進行。
- 回答問題：寫一個在問題情境中有意義的總結句。例如：「因此，最低體重是10.5公斤。」
你知道嗎？
正態分佈有時也被稱為高斯分佈，以著名數學家卡爾·弗里德里希·高斯的名字命名，他曾廣泛使用它。然而，它最初是由亞伯拉罕·棣莫弗發現，作為二項分佈的近似值。這說明即使在數學中，偉大的思想往往是建基於前人的努力之上！
繼續練習和繪畫曲線，你就能成為解決這些問題的高手。祝你好運！