M1 統計學：常態分佈 (第一部分)

基本定義和特性

大家好！歡迎來到統計學中其中一個最重要的課題：常態分佈。別被這個名字嚇倒。「常態」顧名思義，因為它能描述現實世界中很多現象，例如你校內學生的身高，或者測驗的分數。

在本章中，我們會學習常態分佈是甚麼、了解它的主要特徵，並看看為何它在統計學領域中如此舉足輕重。打好這些基礎，將來學習其他章節時就會輕鬆得多。事不宜遲，我們開始吧！


從數算到量度：連續隨機變數

首先，快速回顧一下...

還記得離散隨機變數嗎？這些是你可以數算的變數。
例如：擲硬幣5次中正面的次數（可以是0、1、2、3、4或5次，但不會是2.5次）。又或者是一頁上的錯字數量。

現在，讓我們認識連續隨機變數吧！

連續隨機變數是指在給定範圍內可以取任何數值的變數。想想那些你需要「量度」而非「數算」的事物。

  • 例子1：學生的身高。它可以是165厘米、165.1厘米、165.11厘米，或其間的任何數值。
  • 例子2：跑100米所需的時間。它可以是12.5秒、12.51秒等等。
  • 例子3：一個蘋果的重量。
核心概念：機率就是面積

對於連續變數來說，它剛好是某個特定數值的機率實際上是零！ (某人的身高剛好是170.00000...厘米的機會有多大？)

相反，我們會討論變數落在某個範圍內的機率。例如：「一名學生的身高在165厘米和170厘米之間的機率是多少？」

我們將這些機率表示為曲線下的面積。這條特殊的曲線稱為機率密度函數 (Probability Density Function, PDF)。而所有PDF中最有名的，就是常態分佈的鐘形曲線！

重點總結：離散與連續

離散：可數算的數值（例如：學生人數）。我們使用機率質量函數（如二項式分佈或普瓦松分佈）。
連續：可量度的範圍內數值（例如：學生身高）。我們使用機率密度函數（如常態分佈）。


萬眾矚目的主角：常態分佈

常態分佈是一種連續機率分佈，它左右對稱並呈現獨特的鐘形。這是一種能適用於無數現實情況的數學模型。

標記符號：學習它的「語言」

當一個連續隨機變數 X 遵循常態分佈時，我們會這樣寫：

$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$

讓我們拆解一下。別擔心，它比看起來簡單！

  • X：這是我們的連續隨機變數（例如：智商分數）。
  • ~：這個小波浪符號表示「依循分佈」或「符合...分佈」。
  • N：這代表常態（Normal）。很簡單吧！
  • ($$\mu$$, $$\sigma^2$$)：這兩個是定義鐘形曲線特定形狀和位置的兩個極其重要的參數。
    • $$\mu$$ (讀作 Mu) 是分佈的平均值。它告訴我們圖形的中心位置。
    • $$\sigma^2$$ (讀作 Sigma 平方) 是分佈的變異數。它告訴我們數據的分佈有多「散」。

請記住，標準差 $$\sigma$$ 只是變異數的平方根 ($$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$)。標準差也用來衡量數據的分佈情況。

常見錯誤警示！

請務必留意括號內的第二個數字！符號標記是 $$N(\mu, \sigma^2)$$，它使用的是變異數。
如果你獲告知學生的身高遵循 $$N(168, 25)$$：
- 平均值 $$\mu$$ 是 168。
- 變異數 $$\sigma^2$$ 是 25。
- 標準差 $$\sigma$$ 是 $$\sqrt{25} = 5$$，而不是 25！這在考試中是非常常見的陷阱。


常態曲線的「性格特徵」

所有常態分佈曲線都擁有四個主要特性。理解這些特性會讓你對它們的運作方式有更深入的了解。

1. 鐘形且對稱

常態分佈的圖形最廣為人知的就是其「鐘形曲線」。
它圍繞其中心點，即平均值($$\mu$$)，呈現完美的對稱。

比喻：想像一下，沿著平均值($$\mu$$)的垂直線對摺圖形。兩邊會完美地重疊！這種對稱性意味著低於平均值某個數量的機率，與高於平均值相同數量的機率是完全一樣的。

2. 「三合一」中心：平均值 = 中位數 = 眾數

因為曲線是完美對稱且在中心達到頂點：

  • 平均值（平均數）位於中心。
  • 中位數（將數據一分為二的數值）也位於中心。
  • 眾數（最常出現的數值）位於曲線的最高點，而這個點就是...你猜對了，就是中心！

所以，對於任何常態分佈：平均值 = 中位數 = 眾數 = $$\mu$$。

3. 分佈的「闊窄」由標準差($$\sigma$$)決定

平均值($$\mu$$)告訴我們曲線的中心在哪裡，而標準差($$\sigma$$)則告訴我們它有多「分散」或「壓縮」。

  • 小的標準差($$\sigma$$)意味著數據緊密地聚集在平均值附近。這會導致鐘形曲線變得又高又窄。
  • 大的標準差($$\sigma$$)意味著數據分佈更廣。這會導致鐘形曲線變得又矮又闊。

比喻：想像兩班學生參加同一個測驗。如果甲班的$$\sigma$$較小，代表大部分學生的分數都非常接近平均分。如果乙班的$$\sigma$$較大，代表分數分佈得較廣——有些很高，有些很低。

4. 曲線下的總面積是1

這是所有機率分佈的基本規則。由於曲線代表所有可能的結果，總機率必須是100%，即1。

因此，整個常態分佈曲線下的總面積永遠等於1。

這也意味著每個對稱半邊的面積都是0.5。所以，結果高於平均值的機會是50%，低於平均值的機會也是50%。

你知道嗎？

常態分佈也稱為高斯分佈 (Gaussian distribution)，以19世紀初對其進行大量研究的德國傑出數學家卡爾·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 命名。


讓我們快速回顧！

快速回顧
  • 連續隨機變數可以在一個範圍內取任何數值（例如：身高、體重、時間）。
  • 連續變數的機率是曲線下的面積。
  • 標記 $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$ 意指變數 X 遵循常態分佈，其平均值為 $$\mu$$，變異數為 $$\sigma^2$$。
  • 主要特性：
    1. 它是鐘形且關於平均值對稱的。
    2. 平均值 = 中位數 = 眾數。
    3. 標準差($$\sigma$$)控制著曲線的扁平度/分佈闊窄。
    4. 曲線下的總面積永遠是1。
  • 注意！請記住要將第二個參數開平方，才能找到標準差 $$\sigma$$。

太棒了！你現在已經掌握了常態分佈的基本概念。這些概念是接下來所有學習的基石。請記住這些特性，因為我們將會繼續學習如何利用這個強大的工具來計算機率。