M1 統計學：條件概率與貝葉斯定理

大家好！歡迎來到統計學中最有趣課題之一——條件概率與貝葉斯定理的學習筆記。這些名字聽起來可能有點嚇人，但請別擔心！這些概念其實非常合乎邏輯，而且應用無處不在，從天氣預報到醫學診斷，甚至你在 Netflix 上的推薦內容都有它們的蹤影！

在本章中，我們將學習如何回答類似「如果天空多雲，今天下雨的概率是多少？」這類問題。我們會將所有內容拆解成簡單易懂的步驟。準備好開始了嗎？


1. 什麼是條件概率？

條件概率的核心概念是：在另一個事件已經發生的前提下，某事件發生的概率。我們基本上是根據新資訊來更新概率。

快速回顧：基本概率

還記得事件 A 的基本概率是：

$$P(A) = \frac{\text{Number of favourable outcomes for A}}{\text{Total number of possible outcomes}}$$

例子：擲標準六面骰子擲出「4」的概率是 $$P(\text{rolling a 4}) = \frac{1}{6}$$，因為只有一個「4」，而總共有六個面。

核心思想：一個縮小的「宇宙」

條件概率只是縮小我們的「宇宙」（官方術語是樣本空間）。當我們知道某個事件已經發生時，我們可以忽略所有不再可能發生的其他結果。

類比：在學校裡尋找特定學生。
想像一下，你的學校有1000名學生。隨機選出一名中六女生的概率是 $$P(\text{Form 6 Girl})$$。
現在，如果我給你一些新資訊：「我已經選了一名中六學生。」
突然間，你可以忽略所有中一到中五的學生了！你的樣本空間從1000名學生縮小到只剩下中六學生。在學生是中六生的前提下，選到女生的概率將會不同，而且很可能會更高。

符號表示與公式

我們將「在事件B已發生的前提下事件A發生」的條件概率寫作 P(A|B)。

小小的垂直線「|」代表「在...前提下」或「給定」。所以，你將 P(A|B) 讀作「在B的前提下A的概率」。

連接所有概念的公式是：

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

讓我們分解一下：

  • P(A|B)：這是我們想找的——在B的前提下A的概率。

  • $$P(A \cap B)$$：這是A和B同時發生的概率（A和B的交集）。

  • P(B)：這是「給定」事件B的概率。這就是我們新的、縮小的樣本空間！

記憶小貼士：

公式可以這樣記：「你想要的事件（A）在給定條件（B）下的概率，就是兩件事同時發生的概率，除以給定條件的概率。」

利用表格的逐步例子

一組100名學生被問及他們是否打籃球或足球。結果如下表所示。

打足球 不打足球 總計
打籃球 20 25 45
不打籃球 30 25 55
總計 50 50 100

問題：在學生打足球的前提下，他／她打籃球的概率是多少？

步驟1：定義事件。

設 B = 學生打籃球。
設 F = 學生打足球。

我們想找出 P(B|F)。

步驟2：從表格找出概率。

首先，找出交集的概率 $$P(B \cap F)$$。這是學生同時打籃球和足球的概率。
從表格可見，有20名學生兩者都打。所以，$$P(B \cap F) = \frac{20}{100} = 0.2$$

接下來，找出「給定」事件的概率 P(F)。這是學生打足球的概率。
從表格可見，有50名學生打足球。所以，$$P(F) = \frac{50}{100} = 0.5$$

步驟3：應用公式。

$$P(B|F) = \frac{P(B \cap F)}{P(F)} = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$$

因此，在學生打足球的前提下，他／她打籃球的概率是0.4。

另一種更簡單的思考方式（利用縮小後的樣本空間）：

問題告訴我們學生「打足球」。所以我們可以完全忽略那50名不打足球的學生。我們新的「總數」就只剩下那50名足球運動員。
在這50名足球運動員中，有多少人同時打籃球呢？表格顯示有20人。
所以，概率就是簡單的 $$\frac{20}{50} = 0.4$$。答案一樣！

常見錯誤：

• 不要混淆 P(A|B) 和 P(B|A)。它們通常是不同的！（例如，在你是女生的前提下，你是中六學生的概率，與在你是中六學生的前提下，你是女生的概率，兩者是不同的。）
• 分母永遠是「給定」事件的概率。對於 P(A|B)，分母是 P(B)。

重點：

條件概率就是在一個較小的「世界」裡的概率。公式 $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ 是你的主要工具，但請務必嘗試思考縮小後的樣本空間，以建立你的直覺。


2. 乘法定律與樹形圖

有時我們需要找出兩個事件按順序發生的概率。我們可以重新整理條件概率公式來幫助我們。

一般乘法定律

從 $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ 出發，如果我們將兩邊乘以 P(B)，我們會得到：

$$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$$

這告訴我們A和B同時發生的概率是B發生的概率，乘以在B已經發生後A發生的概率。這對於涉及「不放回」的題目非常有用。

用樹形圖可視化

樹形圖是解決條件概率問題的最佳拍檔。它們幫助你清晰地組織所有資訊。

例子：一個袋子裡有5個紅球和3個藍球。你從袋中連續抽取兩個球，不放回。兩個球都是紅色的概率是多少？

步驟1：畫出第一次抽取的樹形分支。

球的總數 = 8。
第一次抽出紅球的概率，$$P(R_1) = \frac{5}{8}$$
第一次抽出藍球的概率，$$P(B_1) = \frac{3}{8}$$

步驟2：畫出第二組分支，並使它們具備條件性。

如果第一個球是紅色：現在只剩下7個球（4紅，3藍）。
• 在第一個球是紅色的前提下，第二個球是紅色的概率是 $$P(R_2 | R_1) = \frac{4}{7}$$
• 在第一個球是紅色的前提下，第二個球是藍色的概率是 $$P(B_2 | R_1) = \frac{3}{7}$$

如果第一個球是藍色：現在只剩下7個球（5紅，2藍）。
• 在第一個球是藍色的前提下，第二個球是紅色的概率是 $$P(R_2 | B_1) = \frac{5}{7}$$
• 在第一個球是藍色的前提下，第二個球是藍色的概率是 $$P(B_2 | B_1) = \frac{2}{7}$$

步驟3：沿著分支相乘，找出路徑的概率。

我們想找出「第一個是紅色 AND 第二個是紅色」的概率，即 $$P(R_1 \cap R_2)$$。
使用乘法定律：

$$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$$

（樹形圖會直觀地顯示這條路徑！）

重點：

對於順序發生的事件，使用乘法定律 $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$。有疑問時，就畫樹形圖！它能讓複雜的問題變得清晰得多。


3. 貝葉斯定理：反轉條件

這是重頭戲！它看起來很複雜，但其理念很簡單。貝葉斯定理幫助我們「反轉」條件概率。通常，我們知道 P(B|A)，但我們真正想找出的是 P(A|B)。

「為何如此」：醫療檢測的類比

想像一下，有一個罕見疾病的醫療檢測。

  • 我們可能知道檢測的準確性：在患有疾病的前提下，檢測結果呈陽性的概率。我們將其稱為 P(陽性 | 疾病)。
  • 但患者在得到陽性結果後真正想知道的是什麼？他們想知道在檢測結果呈陽性的前提下，他們患有疾病的概率。這就是 P(疾病 | 陽性)。

注意條件是如何反轉的！貝葉斯定理就是讓我們計算這個的工具。

公式

貝葉斯定理的簡單版本直接源自乘法定律：

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}$$

棘手的部分是我們通常不知道 P(B) 的直接數值。我們必須使用全概率定律來計算它。如果事件 A 可以發生或不發生（A'），那麼 B 的概率是：

$$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')$$

將所有部分組合起來，我們得到了你在問題中將使用的完整版本：

$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')}$$

不要慌張！這個公式只是「你想要的路徑」除以「所有可能通向該結果的路徑之和」。樹形圖讓這一切變得超級容易理解。

貝葉斯定理的逐步解題方法

兩家工廠 A 和 B 生產燈泡。工廠 A 生產 60% 的燈泡，工廠 B 生產 40%。已知工廠 A 生產的燈泡有 2% 是有缺陷的，工廠 B 生產的燈泡有 5% 是有缺陷的。

問題：如果你隨機選擇一個燈泡，發現它有缺陷，那麼這個燈泡來自工廠 A 的概率是多少？

步驟1：定義事件。

A = 燈泡來自工廠 A。
B = 燈泡來自工廠 B。
D = 燈泡有缺陷。

我們想找出 P(A|D) ——在燈泡有缺陷的前提下，它來自工廠 A 的概率。

步驟2：列出已知概率（樹形圖在這裡非常適用！）。

• P(A) = 0.60 （工廠 A 生產 60%）
• P(B) = 0.40 （工廠 B 生產 40%）

現在是條件概率：

• P(D|A) = 0.02 （在來自 A 的前提下，有缺陷的概率）
• P(D'|A) = 0.98 （在來自 A 的前提下，沒有缺陷的概率）
• P(D|B) = 0.05 （在來自 B 的前提下，有缺陷的概率）
• P(D'|B) = 0.95 （在來自 B 的前提下，沒有缺陷的概率）

步驟3：找出分子中「你想要的路徑」。

我們想找出 P(A|D)。代表「來自 A AND 有缺陷」的路徑是 $$P(D|A)P(A)$$。
$$P(D|A)P(A) = (0.02) \times (0.60) = 0.012$$

步驟4：找出分母中結果的總概率。

結果是「有缺陷」（D）。燈泡有缺陷有兩種情況：
1. 來自工廠 A 且有缺陷：$$P(D|A)P(A) = 0.012$$
2. 來自工廠 B 且有缺陷：$$P(D|B)P(B) = (0.05) \times (0.40) = 0.020$$

有缺陷的總概率 P(D)，是這些路徑的總和：
$$P(D) = 0.012 + 0.020 = 0.032$$

步驟5：計算最終答案。

$$P(A|D) = \frac{\text{Path you want}}{\text{Sum of all paths to outcome}} = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}$$ $$P(A|D) = \frac{0.012}{0.032} = 0.375$$

所以，即使工廠 A 生產了更多的燈泡，如果你發現一個有缺陷的燈泡，它來自工廠 A 的機會只有 37.5%。這是因為工廠 B 的缺陷率更高。

重點：

貝葉斯定理幫助我們根據新證據更新我們的信念。它反轉了條件。公式可能看起來很嚇人，但有了樹形圖，它就只是：
（導致你得到該結果的特定路徑的概率） / （所有可能導致你得到該結果的路徑的概率總和）。


章節總結：快速回顧

條件概率
  • 是什麼：在B已經發生的前提下，A發生的概率。
  • 符號：P(A|B)
  • 公式：$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
乘法定律
  • 是什麼：幫助找出連續事件發生的概率。
  • 公式：$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$
  • 最佳工具：樹形圖！
貝葉斯定理
  • 作用：「反轉」條件（當你知道 P(B|A) 時，找出 P(A|B)）。
  • 公式：$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
  • 解題小貼士：永遠定義你的事件，列出已知量，並使用樹形圖。答案永遠是「（你所要的路徑） / （所有可能路徑的總和）」。

你一定做得到！練習是關鍵，所以多做一些題目，並盡可能畫樹形圖。祝你好運！