M1 溫習筆記：指數與對數函數
您好！歡迎來到 M1 最強大的課題之一——指數與對數函數。別擔心這些名字聽起來有點嚇人，它們只是一些特殊的函數，卻能非常出色地描述增長或縮減得極其快速的事物。
想想看一段爆紅影片是如何傳播的、你的銀行存款是如何增長的、或是科學家如何測量古老化石的年齡。所有這些現實生活情境都運用了我們即將學習的概念。在本章中，我們將探索神奇的數字 「e」，理解其函數 $$y = e^x$$，認識其逆函數夥伴 $$y = x$$，並學習如何運用它們來解決實際問題。
讓我們一步一步來。你一定做得到！
1. 神奇的數字「e」
你聽過 π（圓周率）吧？嗯，「e」是另一個非常重要的數學常數。它是一個無理數，這意味著它的小數點後的數字無限延伸且不循環。
e 的數值： $$e \approx 2.71828...$$
但它從何而來呢？它是由一個無窮級數嚴謹定義的。這可能看起來有點複雜，但它只是計算「e」的一種特殊方法。
$$e^x$$ 的指數級數是：
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...$$（記住，$$n!$$ 意思是「n 階乘」，例如 $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$）
要找出「e」本身的數值，我們只需將 $$x=1$$ 代入這個級數：
$$e^1 = e = 1 + 1 + \frac{1^2}{2!} + \frac{1^3}{3!} + \frac{1^4}{4!} + ... = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + ... \approx 2.71828$$你知道嗎？
數字「e」與連續增長息息相關。它自然地出現在金融中，用於計算連續複利；在生物學中，用於人口增長模型；以及在物理學中，用於放射性衰變。它有時也被稱為歐拉數，以瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）的名字命名。
重點歸納
「e」是一個特殊的常數，約等於 2.718。它是所有與自然增長和衰變相關事物的基礎，並由指數級數定義。
2. 自然指數函數：$$y = e^x$$
這是重頭戲！函數 $$f(x) = e^x$$ 是模擬快速增長的「基礎」函數。
$$y = e^x$$ 的圖像與主要特徵：
- 穿過 (0, 1) 點： 任何數的 0 次方都是 1，所以 $$e^0 = 1$$。
- 恆為正數： 圖像總是位於 x 軸上方。你無法將「e」取一個次方後得到負數或零。
- 水平漸近線： 當 $$x$$ 變得非常負（例如 -100, -1000）時，$$e^x$$ 會無限趨近於 0，但永不觸及。我們稱 x 軸（直線 $$y=0$$）是一條水平漸近線。
- 快速增長： 隨著 $$x$$ 的增加，$$y$$ 的數值增長得極快。這就是「指數增長」的意思！
比喻：想像一個雪球從山上滾下來。它開始很小，但隨著滾動，它吸收更多的雪，速度越來越快。這就是指數增長！
重點歸納
函數 $$y=e^x$$ 模擬自然增長。它的圖像從接近零開始，穿過 (0, 1) 點，然後極速向上飆升。
3. 自然對數函數：$$y = x$$
每個主角都有個夥伴，而對於 $$e^x$$ 來說，那個夥伴就是自然對數，寫作 $$ x$$。
$$ (a)$$ 問的問題是：「我需要將 'e' 提升到哪個次方才能得到 'a'？」
例子：
- $$ (e) = 1$$，因為 $$e^1 = e$$。
- $$ (1) = 0$$，因為 $$e^0 = 1$$。
- $$ (e^5) = 5$$，因為你需要將 'e' 提升的次方是 5。
函數 $$y = e^x$$ 和 $$y = x$$ 是逆函數。這意味著它們互相抵消。
$$ (e^x) = x $$ $$ e^{ x} = x $$$$y = x$$ 的圖像與主要特徵：
- 穿過 (1, 0) 點： 正如我們所見，$$ (1) = 0$$。
- 只適用於正數 x： 你不能取負數或零的對數。定義域是 $$x > 0$$。
- 垂直漸近線： 當 $$x$$ 從正方向非常接近 0 時，$$ x$$ 會變成一個非常大的負數。y 軸（直線 $$x=0$$）是一條垂直漸近線。
- 緩慢增長： 圖像會增加，但比指數函數慢得多。
- 對稱性： 函數 $$y= x$$ 的圖像是在直線 $$y=x$$ 上與 $$y=e^x$$ 的圖像完美地互相對稱。
重點歸納
函數 $$y= x$$ 是 $$y=e^x$$ 的逆函數。它只對正數 x 有定義，穿過 (1, 0) 點，並且緩慢增長。
4. 解指數和對數方程
為了解決問題，我們需要熟悉規則以及如何重新排列方程。別擔心，這一切都關乎於運用逆關係和一些基本的對數定律。
快速回顧：對數定律
這些定律適用於任何底數，但我們會將它們應用於「ln」。
- 乘法定律： $$ (ab) = (a) + (b)$$
- 除法定律： $$ (\frac{a}{b}) = (a) - (b)$$
- 冪定律： $$ (a^n) = n (a)$$
解方程的分步指南：
情況一：解指數方程（未知數在指數位置）
例子：解 $$e^{2x} = 5$$ 中的 x
- 將指數項獨立出來。（此處已完成）。
- 對兩邊取自然對數（ln）。這是「將指數移下來」的關鍵步驟。
$$ (e^{2x}) = (5)$$ - 使用逆性質 $$
(e^{\text{東西}}) = \text{東西}$$。
$$2x = (5)$$ - 解出 x。
$$x = \frac{ (5)}{2} \approx \frac{1.6094}{2} \approx 0.805$$
情況二：解對數方程（未知數在對數裡面）
例子：解 $$ (x-3) = 2$$ 中的 x
- 將對數項獨立出來。（已完成）。
- 對兩邊取指數運算（將兩邊都作為 'e' 的次方）。這是 ln 的「復原」步驟。
$$e^{ (x-3)} = e^2$$ - 使用逆性質 $$e^{
(\text{東西})} = \text{東西}$$。
$$x-3 = e^2$$ - 解出 x。
$$x = e^2 + 3 \approx 7.389 + 3 \approx 10.389$$
常見錯誤警示！
永遠記住，你只能取正數的對數。解完對數方程後，你應該驗算你的答案，將其代回原方程，以確保 'ln' 內的項是正數。在上面的例子中，$$x \approx 10.389$$，所以 $$x-3 \approx 7.389$$，這是正數。因此，該解是有效的！
5. 現實世界應用
這就是融會貫通之處！這些函數用於模擬許多現實生活情境。
A. 人口增長
不受限制的族群通常呈指數級增長。
公式： $$P(t) = P_0 e^{kt}$$
- $$P(t)$$ 是在時間 $$t$$ 時的人口。
- $$P_0$$ 是初始人口（在 $$t=0$$ 時）。
- $$k$$ 是相對增長率（一個正常數）。
- $$t$$ 是時間。
例子：一個細菌培養物最初有 500 個細菌。3 小時後，有 8000 個細菌。找出 4 小時後的細菌數量。
首先，找出 k。我們有 $$P_0=500$$，$$t=3$$，$$P(3)=8000$$。
$$8000 = 500 e^{k(3)}$$
$$16 = e^{3k}$$
$$
(16) =
(e^{3k})$$
$$
(16) = 3k \implies k = \frac{
(16)}{3} \approx 0.924$$
現在，找出 P(4)：
$$P(4) = 500 e^{0.924 \times 4} \approx 500 e^{3.696} \approx 20153$$ 個細菌。
B. 放射性衰變
放射性物質會隨時間呈指數衰變。
公式： $$A(t) = A_0 e^{-kt}$$
- $$A(t)$$ 是在時間 $$t$$ 時剩餘的量。
- $$A_0$$ 是初始量。
- $$k$$ 是衰變常數（一個正常數）。請注意指數中的負號，它導致衰變！
- $$t$$ 是時間。
C. 連續複利
這是儲蓄的終極目標！這表示利息每年被計算並無限次數地加入本金。
公式： $$A = P e^{rt}$$
- $$A$$ 是最終金額。
- $$P$$ 是本金（初始金額）。
- $$r$$ 是年利率（以小數形式表示）。
- $$t$$ 是年數。
6. 線性化：將曲線變為直線
有時在實驗中，我們收集的數據看起來像是遵循指數曲線，例如 $$y=ka^x$$。但單從曲線觀察很難確定。判斷點是否在一條直線上容易得多！
線性化是一種巧妙地利用對數的技巧，將曲線轉換成直線。直線的方程是 $$Y = mX + C$$，其中 $$m$$ 是斜率，$$C$$ 是 Y 截距。
情況一：轉換 $$y = ka^x$$
此模型在生物學和金融學中很常見。
- 從方程開始： $$y = ka^x$$
- 對兩邊取自然對數： $$ (y) = (ka^x)$$
- 使用對數的乘法定律： $$ (y) = (k) + (a^x)$$
- 使用對數的冪定律： $$ (y) = (k) + x (a)$$
- 重新排列以符合 $$Y = mX + C$$ 的形式：
$$ (y) = ( a)x + (k)$$
現在，將其與 $$Y=mX+C$$ 比較：
- 新的 Y 軸是 $$ (y)$$。
- 新的 X 軸是 $$x$$。
- 斜率 (m) 是 $$ (a)$$。
- Y 截距 (C) 是 $$ (k)$$。
因此，如果你繪製 $$ (y)$$ 對 $$x$$ 的圖，你應該會得到一條直線！從圖中，你可以找到斜率和截距，並使用它們來計算原始常數 $$a$$ 和 $$k$$。
$$a = e^{\text{斜率}}$$ 且 $$k = e^{\text{y-截距}}$$
情況二：轉換 $$y = k[f(x)]^n$$ (例如：$$y = kx^n$$)
這是一個冪律模型，在物理學和工程學中很常見。
- 從方程開始： $$y = kx^n$$ (此處，$$f(x)=x$$)
- 對兩邊取自然對數： $$ (y) = (kx^n)$$
- 使用乘法定律： $$ (y) = (k) + (x^n)$$
- 使用冪定律：
$$ (y) = n (x) + (k)$$
將其與 $$Y=mX+C$$ 比較：
- 新的 Y 軸是 $$ (y)$$。
- 新的 X 軸是 $$ (x)$$。
- 斜率 (m) 是 $$n$$。
- Y 截距 (C) 是 $$ (k)$$。
因此，如果你繪製 $$ (y)$$ 對 $$ (x)$$ 的圖，你會得到一條直線。這條直線的斜率就是常數 $$n$$，而從 y 截距，你可以使用 $$k = e^{\text{y-截距}}$$ 來找出 $$k$$。
重點歸納
線性化利用對數將指數或冪律關係轉換為直線。通過繪製正確的變量（例如 $$ y$$ 對 $$x$$），我們可以從所得直線的斜率和 y 截距中找出未知常數。
關於指數函數和對數函數的內容講解至此。我們從 'e' 的定義開始，一直學到如何利用它的特性來建立模型並分析數據。多加練習解方程和線性化的技巧，你會發現這些函數是你的朋友，而非敵人。祝你學習愉快！