定積分及其應用
各位同學好！歡迎來到精彩的定積分世界。如果你曾經好奇如何找出那些奇形怪狀、彎彎曲曲圖形的準確面積，那麼你來對地方了。別擔心「積分」聽起來很嚇人。我們會一步步為你拆解。 在這個章節裡，我們會學習一種強大的技巧，用來計算精確的面積，看看它如何神奇地與微分聯繫起來，並用它來解決一些有趣的現實世界問題。把它想像成用一個超精密的測量工具來升級你的數學工具箱！1. 什麼是定積分？核心概念
面積問題
找出正方形（長度 × 闊度）或三角形（½ × 底 × 高）的面積很容易。但如果是一個曲線下方的面積，就像下圖所示那樣呢？這可沒有簡單的公式！ 想像一下你想在地圖上找出蜿蜒河流路徑下方的土地面積。你會怎麼做呢？切割法：矩形概念
核心思想很簡單：讓我們「估算」面積，用我們熟悉的——矩形！我們可以把曲線下方的面積切成許多薄薄的垂直矩形，然後把它們的面積加起來。 想像一下切一條麵包。一片麵包形狀很簡單。所有的切片加起來就組成了整條麵包。 我們使用的矩形越多，它們越薄，我們的估算就越接近「真實」面積。定積分的概念就是使用「無限」多個無限薄的矩形，以獲得「準確」的面積。定積分的符號
這整個過程由一個特殊符號表示。別讓它嚇到你；我們來拆解一下： $$ \int_{a}^{b} f(x) \,dx $$- 積分符號 ($$ \int $$)：這只是一個拉長的「S」字，代表「總和」（Sum）。它告訴我們要把所有這些微小矩形的面積加起來。
- 積分上下限 (a 和 b)：這些數字告訴我們在x軸上從哪裡開始（a，下限）到哪裡停止（b，上限）。
- 函數 (f(x))：這就是曲線本身。它代表了我們每個微小矩形的高度。
- dx：這代表了每個矩形微小、微小的闊度。
2. 神奇工具：微積分基本定理 (FTC)
把無限多個矩形加起來聽起來不可能，對嗎？幸運的是，數學家們發現了一個簡單得令人驚嘆的捷徑。這就是「微積分基本定理 (FTC)」，它是本章最重要的概念！定理本身
FTC 將積分與微分聯繫起來。它告訴我們，要找出定積分，我們只需要： 1. 找出 f(x) 的「反導函數」（即不定積分）。我們稱之為 F(x)。2. 把上限和下限代入，然後相減！ 用數學術語來說： $$ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) $$ 其中 F(x) 是 f(x) 的反導函數（意思是 F'(x) = f(x)）。 我們常用以下符號表示： $$ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a) $$
使用 FTC 的逐步指南
讓我們找出 $$ \int_{1}^{3} 2x \,dx $$ 的值。- 找出反導函數 (F(x))：2x 的不定積分是 x² + C。對於定積分，我們可以忽略「+ C」，因為它總會被抵消！（(b² + C) - (a² + C) = b² - a²）。所以，我們的 F(x) 就是 x²。
- 代入上限 (b=3)：F(3) = 3² = 9。
- 代入下限 (a=1)：F(1) = 1² = 1。
- 相減：F(b) - F(a) = 9 - 1 = 8。
常見錯誤提醒
一個非常常見的錯誤是搞混了相減的順序。永遠記住是「上限結果減下限結果」。F(b) - F(a)，絕不能搞反了！ 重點：FTC 為我們提供了一種簡單而強大的方法來計算定積分，而無需疊加矩形。只需找出反導函數，代入上下限，然後相減即可。3. 定積分的性質
這些是幫助簡化問題的「遊戲規則」。把它們想像成有用的捷徑。-
1. 交換上下限
$$ \int_{b}^{a} f(x) \,dx = - \int_{a}^{b} f(x) \,dx $$如果你「反向」積分（從較大的數字到較小的數字），答案會是正向積分的負數。
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2. 零闊度區間
$$ \int_{a}^{a} f(x) \,dx = 0 $$從一個點到它本身的面積是零。因為沒有闊度！
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3. 分割區間
$$ \int_{a}^{c} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx $$從「a」到「c」的總面積，等同於從「a」到「b」的面積「加上」從「b」到「c」的面積。你可以將一個積分分割成多個部分。
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4. 常數倍
$$ \int_{a}^{b} kf(x) \,dx = k \int_{a}^{b} f(x) \,dx $$你可以像微分和不定積分一樣，把常數提出積分符號外面。
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5. 和與差
$$ \int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx \pm \int_{a}^{b} g(x) \,dx $$你可以逐項積分一個函數。這對多項式來說超級有用！
你知道嗎？「啞變量」
我們用於積分的變量實際上並不重要。「x」只是一個佔位符。以下這些積分都完全相同！ $$ \int_{1}^{2} x^2 \,dx = \int_{1}^{2} t^2 \,dt = \int_{1}^{2} u^2 \,du $$ 這是因為最終答案會是一個數字，在我們代入上下限後，變量就會消失。 重點：這些性質與不定積分的性質一樣。利用它們將複雜的積分分解成更簡單的部分。4. 定積分的實際應用
代數函數和指數函數的積分
讓我們利用 FTC 和我們所學的性質來處理你熟悉的函數。 例子：找出 $$ \int_{0}^{1} (3x^2 + e^x) \,dx $$
步驟 1：找出反導函數。
使用和的法則，我們逐項積分。
3x² 的反導函數是 x³。
eˣ 的反導函數是 eˣ。
所以，F(x) = x³ + eˣ。
步驟 2：使用 $$ [F(x)]_{a}^{b} $$ 符號應用上下限。
$$ [x^3 + e^x]_{0}^{1} $$
步驟 3：計算 F(b) - F(a)。
F(1) = (1³ + e¹) = 1 + e
F(0) = (0³ + e⁰) = 0 + 1 = 1
所以，答案是 (1 + e) - (1) = e。
換元法求定積分
當使用換元法時，我們有一個關鍵的額外步驟：我們必須處理積分的上下限。有兩種方法可以做到這一點，但第一種方法更快，也更不容易出錯！ 例子：找出 $$ \int_{0}^{2} 2x(x^2 + 1)^3 \,dx $$方法 1（推薦）：改變上下限
- 選擇 'u' 並找出 'du'。
設 $$ u = x^2 + 1 $$。
那麼 $$ \frac{du}{dx} = 2x $$，所以 $$ du = 2x \,dx $$。這與我們的積分完美匹配！ - 改變上下限。這是最重要的一步！
我們舊的上下限是針對 'x' 的。我們需要針對 'u' 的新上下限。
下限：當 x = 0 時，u = (0)² + 1 = 1。
上限：當 x = 2 時，u = (2)² + 1 = 5。 - 將積分完全改寫為 'u' 和新上下限的形式。
$$ \int_{1}^{5} u^3 \,du $$ - 積分並求解。
$$ [\frac{u^4}{4}]_{1}^{5} = \frac{5^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{625}{4} - \frac{1}{4} = \frac{624}{4} = 156 $$
常見錯誤提醒
換元法的第一大錯誤是忘記改變上下限，而把原來 'x' 的上下限用於 'u' 的積分。務必改變上下限！ 重點：當對定積分使用換元法時，將上下限從 'x' 值變為 'u' 值。這可以省去你在最後換回原變量的麻煩。5. 主要應用：求面積
x軸上方的面積
如果函數 f(x) 在「a」和「b」之間是正數（即曲線在 x 軸上方），那麼面積就簡單地是： $$ Area = \int_{a}^{b} f(x) \,dx $$x軸下方的面積
如果函數 f(x) 是負數（在 x 軸下方），定積分將會給出一個負值。由於面積不能是負數，我們必須取其絕對值或在前面加一個負號。 $$ Area = - \int_{a}^{b} f(x) \,dx \quad \text{or} \quad Area = \left| \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right| $$當曲線穿越 x軸時
如果曲線在我們的區間內，部分在 x 軸上方，部分在 x 軸下方呢？如果我們直接從頭到尾積分，負面積會抵消部分正面積，導致總面積的結果不正確。 步驟：- 通過設定 f(x) = 0 並求解 x，找出曲線穿越 x 軸的位置。
- 在每個穿越點分割積分。
- 分別計算每個部分的積分。
- 對任何負數結果取絕對值。
- 將所有正值加起來，得到總面積。
曲線在 x=0 處穿越 x 軸。所以我們必須分割積分。
面積 = (從 -1 到 0 的面積) + (從 0 到 2 的面積)
面積 = $$ \left| \int_{-1}^{0} x^3 \,dx \right| + \int_{0}^{2} x^3 \,dx $$
第一部分：$$ \int_{-1}^{0} x^3 \,dx = [\frac{x^4}{4}]_{-1}^{0} = \frac{0}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = -\frac{1}{4} $$。所以面積是 $$ |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} $$。
第二部分：$$ \int_{0}^{2} x^3 \,dx = [\frac{x^4}{4}]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0}{4} = \frac{16}{4} = 4 $$。
總面積 = $$ \frac{1}{4} + 4 = 4.25 $$
一個非常重要的課程大綱提示！
對於你的香港中學文憑考試數學單元一（M1），你只需要找出曲線與x軸之間的面積。你不需要找出：- 曲線與 y 軸之間的面積。
- 兩條不同曲線之間的面積。
6. 章節摘要與快速回顧
你成功了！讓我們回顧一下最重要的幾點。- 是什麼：定積分 $$ \int_{a}^{b} f(x) \,dx $$ 用來計算函數 f(x) 與 x 軸之間，從 x=a 到 x=b 的準確面積。
- 神奇工具 (FTC)：最好的求解方法是 $$ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a) $$，其中 F(x) 是反導函數。
- x軸下方的面積：積分結果為負數，所以面積是 $$ -\int ... $$。
- 穿越 x軸：找出 f(x)=0 的位置，分割積分，然後將每個部分的絕對值相加。
- 換元法：黃金法則是改變上下限，使之以 'u' 表示。