第三及第四章：函數的微分
歡迎來到微分的世界！
哈囉！準備好深入學習數學中最有力的概念之一了嗎？這一章節會完全講解微分。別被這個大名詞嚇到啦！說到底，微分其實就是找出「變化率」的過程。
有沒有想過...
- 如何找出汽車在某一瞬間的確切速度，而不僅僅是平均速度？
- 公司如何找到利潤達到最大值的點？
- 過山車軌道上最陡峭的地方在哪裡？
微分能幫助我們解答所有這些問題，甚至更多！它是一個工具，讓我們能分析事物如何在瞬間變化。讓我們先從微分的基石——極限的概念——開始說起吧。
第一部分：極限的概念——無限趨近
什麼是極限？
想像一下你正在走向一面牆。每次你都走剩下距離的一半。你越來越接近，無限地接近，但你永遠不會真正碰到它。牆壁的位置就是你的極限。
在數學中，極限是當輸入（通常是 x）越來越接近某個數時，函數「趨近」的值。
我們這樣寫：$$ \lim_{x \to c} f(x) = L $$ 這讀作：「當 x 趨近於 c 時，函數 f(x) 的極限是 L。」
求極限（簡單方法）
對於你在 M1 會看到的大多數函數，求極限都超級簡單：只要把 x 趨近的值代入函數就行了。
例子一：求 $$ \lim_{x \to 3} (2x^2 - 5) $$
直接代入 x = 3：$$ 2(3)^2 - 5 = 2(9) - 5 = 18 - 5 = 13 $$
所以，極限是 13。簡單吧！
例子二：那分數怎麼辦？求 $$ \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x+3} $$
同樣地，直接代入 x = 1：$$ \frac{1+1}{1+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
小心！有時候，直接代入會得到 $$ \frac{0}{0} $$，這是不確定的。這可能代表你需要先簡化算式！
例子三：求 $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $$
如果我們代入 x = 2，我們會得到 $$ \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0} $$。這可不行！
讓我們試試把分子因式分解：$$ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $$
那麼，我們的極限就變成：$$ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} $$
我們可以消去 $$ (x-2) $$ 項：$$ \lim_{x \to 2} (x+2) $$
現在，我們可以代入 x = 2：$$ 2 + 2 = 4 $$。極限就是 4！
極限的重點摘要
極限是函數所趨近的值。要找出它，首先嘗試代入 x 的值。如果你得到 $$ \frac{0}{0} $$，就嘗試簡化表達式（例如，透過因式分解），然後再代入。
第二部分：導數——揭示斜率
什麼是導數？（核心概念）
函數在某一點的導數，給出了該點的切線斜率。切線是一條只「觸碰」曲線上一點的直線。
這樣想吧：
- 平均速度是你旅程中連接時間上兩點的直線斜率。
- 瞬時速度（你在某一精確時刻的速度）是該單一時間點上切線的斜率。
導數給予我們這種瞬時變化率。
導數的記法——不同的稱呼
求導數的過程稱為「微分」。要寫出「函數 y = f(x) 的導數」，有幾種常見的寫法：
- $$ f'(x) $$ （讀作「f prime x」）
- $$ \frac{dy}{dx} $$ （讀作「dy dx」或「dee y by dee x」）
- $$ y' $$ （讀作「y prime」）
它們的意思完全一樣！
導數就是切線的斜率
這是最重要的概念。如果你有一條曲線 $$ y = f(x) $$，它的導數 $$ f'(x) $$ 是一個新函數，它會告訴你在任何 x 值下的斜率。
要找出特定點（例如 $$ x = x_0 $$）的斜率，我們計算導數，然後把 $$ x_0 $$ 代入。我們這樣寫： $$ f'(x_0) \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=x_0} $$
例如，如果我們發現 $$ f(x) = x^2 $$ 的導數是 $$ f'(x) = 2x $$，那麼在 x=3 處曲線的切線斜率就是 $$ f'(3) = 2(3) = 6 $$。
香港文憑試重要提示：導數的嚴格定義用到極限，稱為「從基本原理求導」。你可能會看到這個公式：$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$。你需要認出這個公式代表導數。但是，考試不會要求你用這個公式來計算導數。我們有更簡單的法則，接下來就會講到！
導數概念的重點摘要
導數是一個函數，它給你曲線上任何一點的切線斜率。它代表了瞬時變化率。
第三部分：微分法則——你的微積分工具箱
別擔心，你不需要用到那個可怕的極限公式！我們有一套簡單的法則來找出導數。讓我們來建立我們的工具箱吧。
法則一：常數法則
任何常數的導數都是零。
$$ \frac{d}{dx}(C) = 0 \quad (\text{where C is any constant}) $$
類比：y = 5 的圖像是一條平坦的水平線。它的斜率是多少？零！永遠都是。
例子：$$ \frac{d}{dx}(7) = 0 $$，$$ \frac{d}{dx}(-100) = 0 $$
法則二：冪次法則（你最好的朋友！）
這是你最常用的法則。要微分 $$ x^n $$：
$$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$助記方法：「把次方拉到前面，然後次方減一。」
例子一：$$ f(x) = x^4 $$
$$ f'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3 $$
例子二（涉及根號和分數）：微分 $$ y = \sqrt{x} $$
首先，把根號改寫成次方：$$ y = x^{1/2} $$
現在使用冪次法則：$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
法則三：和／差法則
要微分相加或相減的函數，只需分別微分每個部分。
$$ \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $$
例子：找出 $$ y = x^3 + 5x^2 - 7x + 2 $$ 的導數
逐項微分：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(5x^2) - \frac{d}{dx}(7x) + \frac{d}{dx}(2) $$
$$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 5(2x) - 7(1) + 0 $$
$$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 10x - 7 $$
法則四：積法則（要小心！）
當你有兩個函數相乘時使用，例如 $$ f(x) \cdot g(x) $$。我們稱它們為 u 和 v。
$$ \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad (uv)' = u'v + uv' $$助記方法：「第一個乘以第二個的導數，加上第二個乘以第一個的導數。」
常見錯誤提醒！積的導數不等於導數的積！$$ (uv)' \neq u'v' $$。
例子：找出 $$ y = x^2(x+1) $$ 的導數
設 $$ u = x^2 $$ 及 $$ v = x+1 $$。
那麼 $$ u' = 2x $$ 及 $$ v' = 1 $$。
使用法則 $$ (uv)' = u v' + v u' $$：
$$ \frac{dy}{dx} = (x^2)(1) + (x+1)(2x) = x^2 + 2x^2 + 2x = 3x^2 + 2x $$
法則五：商法則（比較難搞的一個）
當你有一個函數除以另一個函數時使用。我們稱它們為 u（分子）和 v（分母）。
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \quad \text{或} \quad \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$助記方法：一個流行的說法是「下導上減上導下，底平方」。(下 = 分母函數, 上 = 分子函數, 導 = 導數)。
常見錯誤提醒！分子中的順序很重要，因為有減號！確保是 $$ v u' $$ 在前面。
例子：找出 $$ y = \frac{x}{x^2+1} $$ 的導數
設 $$ u = x $$（分子）及 $$ v = x^2+1 $$（分母）。
那麼 $$ u' = 1 $$ 及 $$ v' = 2x $$。
使用法則 $$ \frac{v u' - u v'}{v^2} $$：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+1)(1) - (x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} $$
法則六：鏈鎖法則（函數中的函數）
用於複合函數，就像一個函數嵌套在另一個函數裡面。想像一下俄羅斯套娃。
如果 $$ y = f(g(x)) $$，它的導數是：$$ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
逐步方法：
- 微分外層函數，內層函數保持不變。
- 將你的結果乘以內層函數的導數。
例子：找出 $$ y = (x^2+5)^3 $$ 的導數
外層函數是某物的三次方：$$ (\text{...})^3 $$。
內層函數是 $$ x^2+5 $$。
1. 微分外層部分（使用冪次法則）：$$ 3(\text{...})^2 $$ 變成 $$ 3(x^2+5)^2 $$。
2. 內層部分（$$ x^2+5 $$）的導數是 $$ 2x $$。
3. 將它們相乘：$$ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+5)^2 \cdot (2x) = 6x(x^2+5)^2 $$
微分法則的重點摘要
這個工具箱是你成功的關鍵。
- 冪次法則： $$ (x^n)' = nx^{n-1} $$
- 積法則： $$ (uv)' = u'v + uv' $$
- 商法則： $$ (u/v)' = (u'v - uv')/v^2 $$
- 鏈鎖法則： 微分外層，然後乘以內層的導數。
第四部分：指數函數與對數函數的微分
一些特殊函數有非常簡潔的導數。你需要把這些記住！
最簡單的導數：$$ e^x $$
函數 $$ e^x $$ 的導數就是它自己。就是這麼簡單！
$$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$你知道嗎？數字 e（約等於 2.718）之所以特別，是因為函數 $$ y = e^x $$ 在每一個點的斜率都等於它的 y 值！這就是為什麼它在增長和衰退模型中是如此基礎和重要。
自然對數：$$ \ln x $$
自然對數的導數是 $$ 1/x $$。
$$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $$其他底數：$$ a^x $$ 和 $$ \log_a x $$
如果底數不是 e 怎麼辦？它們只是輕微的變體。
$$ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $$ （注意，如果 a=e，$$ \ln(e)=1 $$，所以你只是得到了 $$ e^x $$）
$$ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $$ （注意，如果 a=e，$$ \ln(e)=1 $$，所以你只是得到了 $$ 1/x $$）
結合鏈鎖法則
很多時候，你需要將鏈鎖法則與這些函數結合使用。
例子一：微分 $$ y = e^{5x} $$
外層函數：$$ e^{(\text{...})} $$。內層函數：$$ 5x $$。
外層導數：$$ e^{5x} $$。
內層導數：5。
結果：$$ \frac{dy}{dx} = e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x} $$
例子二：微分 $$ y = \ln(x^2+1) $$
外層函數：$$ \ln(\text{...}) $$。內層函數：$$ x^2+1 $$。
外層導數：$$ \frac{1}{\text{...}} $$，即是 $$ \frac{1}{x^2+1} $$。
內層導數：$$ 2x $$。
結果：$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1} $$
特殊函數的重點摘要
記住這四個重要的公式：
1. $$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$
2. $$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $$
3. $$ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $$
4. $$ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $$
第五部分：再次微分——二階導數
什麼是二階導數？
二階導數顧名思義：它是第一階導數的導數。你只需要微分兩次！
類比：
- 如果 $$ f(x) $$ 是你的位置...
- 那麼 $$ f'(x) $$ 就是你的速度（位置的變化率）。
- 而 $$ f''(x) $$ 就是你的加速度（速度的變化率）。
在 M1 中，我們使用二階導數來了解更多關於圖形形狀（例如凹凸性），這將在後續的應用中學到。
二階導數的記法
就像第一階導數一樣，二階導數也有幾種寫法：
- $$ f''(x) $$ （讀作「f double-prime x」）
- $$ y'' $$ （讀作「y double-prime」）
- $$ \frac{d^2y}{dx^2} $$ （讀作「d square y by dx square」）
如何找出它
這是一個簡單的兩步過程：
- 找出第一階導數 $$ f'(x) $$。
- 現在，將你的結果 $$ f'(x) $$ 再次微分，以得到第二階導數 $$ f''(x) $$。
例子：找出 $$ f(x) = x^4 - 3x^2 + 8 $$ 的二階導數
第一步：找出第一階導數。
$$ f'(x) = 4x^3 - 6x $$
第二步：微分第一階導數。
$$ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 6x) = 12x^2 - 6 $$
就這麼簡單！二階導數是 $$ 12x^2 - 6 $$。
香港文憑試重點：你只需要懂得找出第一階和第二階導數。第三階及更高階的導數不屬於課程範圍。所以你停在二階就可以了！
二階導數的重點摘要
二階導數是「導數的導數」。要找出它，只需將你的微分法則應用兩次。它能給我們關於函數的更深層次資訊，例如它的加速度或彎曲程度。