M1 微積分：函數導數研習筆記
各位同學好！歡迎來到 M1 微積分其中一個最重要課題嘅研習筆記：導數。就算個名聽落好似好深奧都唔駛擔心，我哋會將佢拆解成簡單易明嘅部分。
咁你會學到啲咩呢？我哋會由基礎概念「極限」開始講起。然後，我哋會探索導數究竟係啲咩（劇透：佢全部都係關於變動率㗎！），仲會學識強大嘅法則，等我哋可以輕輕鬆鬆咁搵到導數。你可以想像呢個係學識點樣搵一架汽車喺某個瞬間嘅準確速度，或者係過山車喺軌道上任何一點嘅精確斜率。呢個係一個超有用嘅工具！
第一部分：基礎 - 理解極限
學行先於學跑。喺微積分入面，「極限」就係我哋嘅第一步。導數嘅整個概念都係奠基於此㗎。
咁，咩係極限？
想像你行緊埋一面牆。你每一步都行剩餘距離嘅一半。你越嚟越近，但永遠都掂唔到面牆。呢面牆就係你嘅極限。佢係一個函數當輸入值越來越接近某個數字時，「趨近」嘅數值。
我哋會咁樣寫函數 f(x) 當 x 趨近數字 c 嘅極限：
$$ \lim_{x \to c} f(x) = L $$呢個意思就係：「當 x 變得非常非常接近 c 嘅時候，f(x) 嘅數值就會變得非常非常接近 L」。
點樣搵極限（簡單方法）
對於你哋會見到嘅大部分函數（好似多項式），搵極限最簡單嘅方法就係直接代入。將 x 趨近嘅數值直接代入函數就得喇！
例子：搵 $$ \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) $$
步驟一： 將 x = 2 直接代入表達式。
步驟二： 計算結果。
$$ (2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 $$
所以，$$ \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 10 $$。好簡單，係咪？
小心！0/0 問題
有時，直接代入會畀到你 $$ \frac{0}{0} $$，呢個叫做不定型。呢個係紅燈！佢唔係話個極限唔存在；只係我哋需要先做一啲代數運算。
例子：搵 $$ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$
如果我哋代入 x = 3，我哋會得到 $$ \frac{3^2 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0} $$。係時候做代數啦！
步驟一：將表達式因式分解。留意分子係平方差。
$$ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} $$
步驟二：約去公因數。
$$ \frac{\cancel{(x-3)}(x+3)}{\cancel{x-3}} = x+3 $$
步驟三：而家，再試一次直接代入。
$$ \lim_{x \to 3} (x+3) = 3 + 3 = 6 $$
所以，個極限係 6！
極限：重點撮要
極限係函數趨近嘅數值。對於大部分問題，你可以用直接代入嘅方法搵到佢。如果你得到 $$ \frac{0}{0} $$，就要用你嘅代數技巧（例如因式分解）嚟先將表達式化簡。
第二部分：導數簡介
而家嚟到戲肉喇！到底呢個「導數」係啲咩嚟㗎？
導數就係斜率！
想像一條蜿蜒起伏嘅山路。佢嘅陡峭程度處處不同。導數就好似一個魔法公式，佢可以話你知條路喺你所選擇嘅任何一個點嘅精確陡峭度（斜率）。
用數學術語嚟講，函數 f(x) 喺某一點嘅導數，就係該點切線嘅斜率。切線係一條喺曲線某一點「掂到」曲線嘅直線。
導數量度瞬時變動率。
- 如果 f(x) 係汽車嘅位置，佢嘅導數 f'(x) 就係佢嘅瞬時速度。
- 如果 C(x) 係生產物品嘅成本，佢嘅導數 C'(x) 就係邊際成本（生產多一件物品嘅成本）。
正式概念：導數嘅基本定義
導數嘅官方定義係用極限嚟表達嘅。佢睇落有啲複雜，但個概念好簡單。我哋搵兩個超級接近嘅點之間嘅斜率，然後睇吓當佢哋之間嘅距離趨近零嗰陣會發生啲咩。
定義係：
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$唔好驚！HKDSE 課程大綱講明你只係需要「認識」呢個概念。你唔會被要求用呢條公式嚟計算導數。我哋有簡單好多嘅法則嚟做呢件事，我哋之後就會學到！
符號，符號，符號！
有幾種唔同嘅方法嚟寫「函數嘅導數」。佢哋都係同一個意思，所以要熟習佢哋！
如果我哋嘅函數係 y = f(x)，佢嘅導數可以寫成：
- f'(x) (讀作「f prime of x」)
- y' (讀作「y prime」)
- $$ \frac{dy}{dx} $$ (讀作「d y d x」)
要表示喺某個特定點嘅導數，例如 x = 2，我哋會寫：
- f'(2)
- $$ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} $$
導數：重點撮要
導數畀到你曲線上任何一點嘅切線斜率。佢代表瞬時變動率。佢有幾種唔同嘅寫法，例如 f'(x) 同 $$ \frac{dy}{dx} $$。
第三部分：你嘅微分工具箱（法則！）
呢個係真正有趣嘅部分開始喇！呢啲法則係你搵導數嘅捷徑，而唔需要用到複雜嘅極限定義。
基本法則（核心）
一、常數法則
任何常數嘅導數都係零。
$$ \frac{d}{dx}(C) = 0 $$類比：想像一下 y = 5 嘅圖像。佢係一條水平直線。佢嘅斜率係幾多？零！
例子：如果 f(x) = 10，咁 f'(x) = 0。
二、冪法則
呢個係你最常用嘅法則！要搵 x 嘅冪數嘅導數，你將指數「帶落嚟」前面，然後將原有嘅指數減一。
$$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$助記口訣：「指數落前面，指數減一先。」
例子一：搵 $$ y = x^4 $$ 嘅導數
$$ \frac{dy}{dx} = 4x^{4-1} = 4x^3 $$
例子二：搵 $$ f(x) = \sqrt{x} $$ 嘅導數
首先，將平方根寫成冪數形式：$$ f(x) = x^{1/2} $$
而家，用冪法則：$$ f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} $$
三、常數倍數及和/差法則
呢啲法則好直觀。
- 常數倍數：你可以將常數抽到前面。 $$ \frac{d}{dx}(k \cdot f(x)) = k \cdot f'(x) $$
- 和/差：你可以逐項微分函數。 $$ \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x) $$
例子：搵 $$ y = 5x^3 - 2x^2 + 7 $$ 嘅導數
逐項進行微分：
$$ \frac{dy}{dx} = 5 \cdot (3x^2) - 2 \cdot (2x^1) + 0 $$
$$ \frac{dy}{dx} = 15x^2 - 4x $$
「三大」進階法則
呢啲法則係用嚟處理更複雜嘅函數，例如佢哋係相乘、相除或者複合而成嘅。
一、乘法則
當你有兩個函數相乘嘅時候使用，例如 $$ f(x) = u(x) \cdot v(x) $$。
$$ \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} $$助記口訣：「第一個函數乘第二個函數嘅導數，加第二個函數乘第一個函數嘅導數。」
例子：搵 $$ y = x^2 \ln(x) $$ 嘅導數
喺呢度，u = x² 同 v = ln(x)。
所以，$$ \frac{du}{dx} = 2x $$ 同 $$ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} $$
代入公式：
$$ \frac{dy}{dx} = (x^2) \cdot \left(\frac{1}{x}\right) + (\ln x) \cdot (2x) $$
$$ \frac{dy}{dx} = x + 2x \ln x $$
常見錯誤警示！你唔可以就咁將導數相乘。 $$ (uv)' \neq u'v' $$
二、商法則
當你有一個函數除以另一個函數嘅時候使用，例如 $$ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $$。
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} $$助記口訣（唱出嚟啦！): 「下乘上導減上乘下導，再除以下嘅平方！」
例子：搵 $$ y = \frac{e^x}{x^3} $$ 嘅導數
喺呢度，u = eˣ (上) 同 v = x³ (下)。
所以，$$ \frac{du}{dx} = e^x $$ 同 $$ \frac{dv}{dx} = 3x^2 $$。
代入公式：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{(x^3)(e^x) - (e^x)(3x^2)}{(x^3)^2} $$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^3e^x - 3x^2e^x}{x^6} = \frac{x^2e^x(x - 3)}{x^6} = \frac{e^x(x - 3)}{x^4} $$
三、鏈鎖法則
用於「函數入面有函數」（複合函數）嘅情況。想像佢好似俄羅斯套娃咁。
如果 $$ y = f(g(x)) $$，咁佢嘅導數就係：
$$ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$步驟：「微分外層（內部保持不變），然後乘以內層嘅導數。」
例子：搵 $$ y = (x^2 + 5)^4 $$ 嘅導數
外層： $$ (\text{某個嘢})^4 $$
內層： $$ x^2 + 5 $$
步驟一：微分外層。用冪法則。將 4 帶落嚟，減 1，但內部保持不變。
$$ 4(x^2 + 5)^3 $$
步驟二：微分內層。 $$ x^2 + 5 $$ 嘅導數係 $$ 2x $$。
步驟三：將佢哋相乘。
$$ \frac{dy}{dx} = 4(x^2+5)^3 \cdot (2x) = 8x(x^2+5)^3 $$
特殊函數嘅導數
呢啲係你只需要背誦嘅公式。佢哋經常同鏈鎖法則一齊出現！
- 自然指數函數： $$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$ (佢嘅導數就係佢自己！)
- 自然對數函數： $$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $$
- 一般指數函數： $$ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $$
- 一般對數函數： $$ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $$
你知唔知？數字 'e'（約2.718）喺微積分入面咁特別，正正因為函數 eˣ 喺任何一點嘅斜率都等於佢嘅數值！
微分法則：重點撮要
呢啲法則係你必需嘅工具箱。冪法則處理 $$ x^n $$。乘法則處理相乘。商法則處理相除。鏈鎖法則處理函數入面有函數。記住佢哋，仲要多練習，多練習，多練習！
第四部分：更進一步 - 二階導數
如果我哋對導數再取導數呢？呢個正正就係二階導數！
咩係二階導數？
二階導數量度一階導數嘅變動率。如果一階導數話你知斜率，咁二階導數就話你知斜率點樣變化。
現實世界類比：
- 函數 f(x)：你嘅位置。
- 一階導數 f'(x)：你嘅速度（你位置變動有幾快）。
- 二階導數 f''(x)：你嘅加速度（你速度變動有幾快）。
二階導數亦幫助我哋理解圖像嘅凹凸性（睇吓佢係似杯狀裝水定倒水咁），呢個對於搵極大值同極小值好有用。
符號與計算
二階導數嘅符號只係多一個「prime」符號或者一個「2」。
- f''(x) (讀作「f double-prime of x」)
- y'' (讀作「y double-prime」)
- $$ \frac{d^2y}{dx^2} $$ (讀作「d square y d x square」)
要搵佢，你只需要將你嘅函數微分兩次就得喇！
例子：搵 $$ y = 2x^3 - 4x^2 + 10x $$ 嘅二階導數
步驟一：搵一階導數（$$ \frac{dy}{dx} $$）。
$$ \frac{dy}{dx} = 2(3x^2) - 4(2x) + 10 = 6x^2 - 8x + 10 $$
步驟二：微分一階導數嚟得到二階導數（$$ \frac{d^2y}{dx^2} $$）。
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = 6(2x) - 8 + 0 = 12x - 8 $$
就係咁！你已經搵到二階導數喇。
好消息：M1 課程大綱入面，你唔需要擔心三階、四階或者任何更高階嘅導數！
二階導數：重點撮要
二階導數係「導數嘅導數」。佢話你知斜率點樣變化（想像：加速度）。要搵佢，只需要將你嘅微分法則應用兩次。