M1 微積分：函數導數研習筆記
各位同學好！歡迎來到 M1 微積分其中一個最重要課題的研習筆記：導數。即使名稱聽起來很深奧也不必擔心，我們會將它拆解成簡單易懂的部分。
那麼你會學到什麼呢？我們會從基礎概念「極限」開始講起。然後，我們會探索導數究竟是什麼（劇透：它全部都是關於變動率的！），還會學會強大的法則，讓我們可以輕輕鬆鬆地找到導數。你可以想像這是學會如何找到一輛汽車在某個瞬間的準確速度，或者是過山車在軌道上任何一點的精確斜率。這是一個超有用的工具！
第一部分：基礎 - 理解極限
學行先於學跑。在微積分中，「極限」就是我們的第一步。導數的整個概念都是奠基於此的。
那麼，什麼是極限？
想像你正走向一面牆。你每一步都走剩餘距離的一半。你越來越近，但永遠都碰不到那面牆。這面牆就是你的極限。它是一個函數當輸入值越來越接近某個數字時，「趨近」的數值。
我們會這樣寫函數 f(x) 當 x 趨近數字 c 的極限：
$$ \lim_{x \to c} f(x) = L $$這個意思就是：「當 x 變得非常非常接近 c 的時候，f(x) 的數值就會變得非常非常接近 L」。
如何找到極限（簡單方法）
對於你們會見到的大部分函數（例如多項式），找到極限最簡單的方法就是直接代入。將 x 趨近的數值直接代入函數就可以了！
例子：找到 $$ \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) $$
步驟一： 將 x = 2 直接代入表達式。
步驟二： 計算結果。
$$ (2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 $$
所以，$$ \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 10 $$。很簡單，對嗎？
小心！0/0 問題
有時，直接代入會得到 $$ \frac{0}{0} $$，這叫做不定型。這是紅燈！這不是說極限不存在；只是我們需要先做一些代數運算。
例子：找到 $$ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$
如果我們代入 x = 3，我們會得到 $$ \frac{3^2 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0} $$。是時候做代數了！
步驟一：將表達式因式分解。留意分子是平方差。
$$ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} $$步驟二：約去公因數。
$$ \frac{\cancel{(x-3)}(x+3)}{\cancel{x-3}} = x+3 $$步驟三：現在，再試一次直接代入。
$$ \lim_{x \to 3} (x+3) = 3 + 3 = 6 $$
所以，極限是 6！
極限：重點撮要
極限是函數趨近的數值。對於大部分問題，你可以用直接代入的方法找到它。如果你得到 $$ \frac{0}{0} $$，就要用你的代數技巧（例如因式分解）來先將表達式化簡。
第二部分：導數簡介
現在來到重點了！到底這個「導數」是什麼呢？
導數就是斜率！
想像一條蜿蜒起伏的山路。它的陡峭程度處處不同。導數就好像一個魔法公式，它可以告訴你這條路在你所選擇的任何一個點的精確陡峭度（斜率）。
導數衡量瞬時變動率。
- 如果 f(x) 是汽車的位置，它的導數 f'(x) 就是它的瞬時速度。
- 如果 C(x) 是生產物品的成本，它的導數 C'(x) 就是邊際成本（生產多一件物品的成本）。
正式概念：導數的基本定義
導數的官方定義是用極限來表達的。它看起來有些複雜，但概念很簡單。我們找到兩個超級接近的點之間的斜率，然後看看當它們之間的距離趨近零的時候會發生什麼。
定義是：
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$別擔心！HKDSE 課程大綱說明你只需要「認識」這個概念。你不會被要求用這條公式來計算導數。我們有簡單很多的法則來做這件事，我們之後就會學到！
符號，符號，符號！
有幾種不同的方法來寫「函數的導數」。它們都是同一個意思，所以要熟習它們！
如果我們的函數是 y = f(x)，它的導數可以寫成：
- f'(x) (讀作「f prime of x」)
- y' (讀作「y prime」)
- $$ \frac{dy}{dx} $$ (讀作「d y d x」)
要表示在某個特定點的導數，例如 x = 2，我們會寫：
- f'(2)
- $$ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} $$
導數：重點撮要
導數提供你曲線上任何一點的切線斜率。它代表瞬時變動率。它有幾種不同的寫法，例如 f'(x) 和 $$ \frac{dy}{dx} $$。
第三部分：你的微分工具箱（法則！）
這是真正有趣的部分開始了！這些法則是你找到導數的捷徑，而不需要用到複雜的極限定義。
基本法則（核心）
一、常數法則
任何常數的導數都是零。
$$ \frac{d}{dx}(C) = 0 $$類比：想像一下 y = 5 的圖像。它是一條水平直線。它的斜率是多少？零！
例子：如果 f(x) = 10，那麼 f'(x) = 0。
二、冪法則
這是你最常用的法則！要找到 x 的冪數的導數，你將指數「帶下來」前面，然後將原有的指數減一。
$$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$助記口訣：「指數移前面，指數先減一。」
例子一：找到 $$ y = x^4 $$ 的導數
$$ \frac{dy}{dx} = 4x^{4-1} = 4x^3 $$
例子二：找到 $$ f(x) = \sqrt{x} $$ 的導數
首先，將平方根寫成冪數形式：$$ f(x) = x^{1/2} $$
現在，用冪法則：$$ f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} $$
三、常數倍數及和/差法則
這些法則很直觀。
- 常數倍數：你可以將常數抽到前面。 $$ \frac{d}{dx}(k \cdot f(x)) = k \cdot f'(x) $$
- 和/差：你可以逐項微分函數。 $$ \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x) $$
例子：找到 $$ y = 5x^3 - 2x^2 + 7 $$ 的導數
逐項進行微分：
$$ \frac{dy}{dx} = 5 \cdot (3x^2) - 2 \cdot (2x^1) + 0 $$$$ \frac{dy}{dx} = 15x^2 - 4x $$
「三大」進階法則
這些法則是用來處理更複雜的函數，例如它們是相乘、相除或者複合而成的。
一、乘法則
當你有兩個函數相乘的時候使用，例如 $$ f(x) = u(x) \cdot v(x) $$。
$$ \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} $$助記口訣：「第一個函數乘以第二個函數的導數，加上第二個函數乘以第一個函數的導數。」
例子：找到 $$ y = x^2 \ln(x) $$ 的導數
在這裡，u = x² 和 v = ln(x)。
所以，$$ \frac{du}{dx} = 2x $$ 和 $$ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} $$
代入公式：
$$ \frac{dy}{dx} = (x^2) \cdot \left(\frac{1}{x}\right) + (\ln x) \cdot (2x) $$$$ \frac{dy}{dx} = x + 2x \ln x $$
常見錯誤警示！你不能就這樣將導數相乘。 $$ (uv)' \neq u'v' $$
二、商法則
當你有一個函數除以另一個函數的時候使用，例如 $$ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $$。
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} $$助記口訣（唱出來吧！): 「下乘上導減上乘下導，再除以以下的平方！」
例子：找到 $$ y = \frac{e^x}{x^3} $$ 的導數
在這裡，u = eˣ (上) 和 v = x³ (下)。
所以，$$ \frac{du}{dx} = e^x $$ 和 $$ \frac{dv}{dx} = 3x^2 $$。
代入公式：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{(x^3)(e^x) - (e^x)(3x^2)}{(x^3)^2} $$$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^3e^x - 3x^2e^x}{x^6} = \frac{x^2e^x(x - 3)}{x^6} = \frac{e^x(x - 3)}{x^4} $$
三、鏈鎖法則
用於「函數裡面有函數」（複合函數）的情況。想像它就像俄羅斯套娃一樣。
如果 $$ y = f(g(x)) $$，那麼它的導數就是：
$$ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$步驟：「微分外層（內部保持不變），然後乘以內層的導數。」
例子：找到 $$ y = (x^2 + 5)^4 $$ 的導數
外層： $$ (\text{某個嘢})^4 $$
內層： $$ x^2 + 5 $$
步驟一：微分外層。用冪法則。將 4 帶下來，減 1，但內部保持不變。
$$ 4(x^2 + 5)^3 $$步驟二：微分內層。 $$ x^2 + 5 $$ 的導數是 $$ 2x $$。
步驟三：將它們相乘。
$$ \frac{dy}{dx} = 4(x^2+5)^3 \cdot (2x) = 8x(x^2+5)^3 $$
特殊函數的導數
這些是你只需要背誦的公式。它們經常和鏈鎖法則一起出現！
- 自然指數函數： $$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$ (它的導數就是它自己！)
- 自然對數函數： $$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $$
- 一般指數函數： $$ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $$
- 一般對數函數： $$ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $$
你知道嗎？數字 'e'（約2.718）在微積分中這麼特別，正因為函數 eˣ 在任何一點的斜率都等於它的數值！
微分法則：重點撮要
這些法則是你必需的工具箱。冪法則處理 $$ x^n $$。乘法則處理相乘。商法則處理相除。鏈鎖法則處理函數裡面有函數。記住它們，還要多練習，多練習，多練習！
第四部分：更進一步 - 二階導數
如果我們對導數再取導數呢？這正就是二階導數！
什麼是二階導數？
二階導數衡量一階導數的變動率。如果一階導數告訴你斜率，那麼二階導數就告訴你斜率怎樣變化。
現實世界類比：
- 函數 f(x)：你的位置。
- 一階導數 f'(x)：你的速度（你位置變動有多快）。
- 二階導數 f''(x)：你的加速度（你速度變動有多快）。
二階導數亦幫助我們理解圖像的凹凸性（看看它是像杯狀裝水還是倒水一樣），這對於找到極大值和極小值很有用。
符號與計算
二階導數的符號只是多一個「prime」符號或者一個「2」。
- f''(x) (讀作「f double-prime of x」)
- y'' (讀作「y double-prime」)
- $$ \frac{d^2y}{dx^2} $$ (讀作「d square y d x square」)
要找到它，你只需要將你的函數微分兩次就可以了！
例子：找到 $$ y = 2x^3 - 4x^2 + 10x $$ 的二階導數
步驟一：找到一階導數（$$ \frac{dy}{dx} $$）。
$$ \frac{dy}{dx} = 2(3x^2) - 4(2x) + 10 = 6x^2 - 8x + 10 $$
步驟二：微分一階導數來得到二階導數（$$ \frac{d^2y}{dx^2} $$）。
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = 6(2x) - 8 + 0 = 12x - 8 $$
就是這樣！你已經找到二階導數了。
好消息：M1 課程大綱中，你不需要擔心三階、四階或者任何更高階的導數！
二階導數：重點撮要
二階導數是「導數的導數」。它告訴你斜率怎樣變化（想像：加速度）。要找到它，只需要將你的微分法則應用兩次。