M1 溫習筆記：二項式展開式
各位同學，未來的數學精英！
你有沒有試過看到像 $$(a+b)^7$$ 這樣的式子，然後心想：「除了把它乘開七次之外，應該有更快的方法吧！」？恭喜你！這一章就是要教你這個「更快的方法」。
我們將會學習二項式展開式，這是一個強大的捷徑，能幫助我們展開含有兩項（「二項式」的由來）並提高次方的代數式。在 M1 課程中，這是一個超級重要的工具，它能節省你大量的時間，並且在概率等其他範疇也會出現應用。讓我們開始吧！
1. 次方背後的規律
我們先用「土法」來看看較小次方的展開式，看看能否找出甚麼規律。
$$(a+b)^0 = 1$$
$$(a+b)^1 = 1a + 1b$$
$$(a+b)^2 = 1a^2 + 2ab + 1b^2$$
$$(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$$
$$(a+b)^4 = 1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4$$
你發現了甚麼嗎？
- a 的次方：從最高次方 (n) 開始，每個項次減 1，直到 0 為止。
- b 的次方：剛好相反！從 0 開始，每個項次加 1，直到最高次方 (n) 為止。
- 「係數」：這些是每個項前面的數字。你有沒有留意到它們有對稱的規律：1, 4, 6, 4, 1？但這些數字是從哪裡來的呢？
介紹巴斯卡三角形
一位名叫布萊茲·巴斯卡（Blaise Pascal）的法國數學家發現了這些係數中一個美麗的規律，我們現在稱之為巴斯卡三角形。這是一個簡單、視覺化的方法，能幫助你找出展開式中的係數。
如何建構它：
1. 從頂部的「1」開始。
2. 每行都以「1」開始和結束。
3. 其他每個數字都是由其正上方兩個數字相加而成。
它看起來像這樣：
第 0 行 (當 n=0): 1
第 1 行 (當 n=1): 1 1
第 2 行 (當 n=2): 1 2 1
第 3 行 (當 n=3): 1 3 3 1
第 4 行 (當 n=4): 1 4 6 4 1
第 5 行 (當 n=5): 1 5 10 10 5 1
例子：使用巴斯卡三角形展開 $$(x+y)^4$$
1. 找出係數：次方是 4，所以我們看巴斯卡三角形的第 4 行。係數是 1, 4, 6, 4, 1。
2. 加入變數：*x* 的次方將從 4 遞減到 0，而 *y* 的次方將從 0 遞增到 4。
3. 組合起來：
$$(x+y)^4 = \mathbf{1}x^4y^0 + \mathbf{4}x^3y^1 + \mathbf{6}x^2y^2 + \mathbf{4}x^1y^3 + \mathbf{1}x^0y^4$$
整理一下得到：
$$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$$
重點提示
巴斯卡三角形是找出二項式展開式係數的快速簡單方法，尤其適用於較小的次方。
2. 更強大的方法：組合
巴斯卡三角形很棒，但如果你需要展開一個 20 次方的式子怎麼辦？你總不想寫足 20 行的三角形吧！我們需要一個更直接的公式。這就是組合派上用場了。
快速複習：甚麼是組合？
還記得初中統計學學過的 $$C^n_r$$（或 $$\binom{n}{r}$$）嗎？它表示「從 *n* 個物件中選擇 *r* 個物件的方法數量」。
公式是 $$C^n_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$，但最棒的是，你的計算機有 nCr 按鈕！用它來節省時間吧。
例如，要找出巴斯卡三角形第 4 行中間的「6」，我們可以用計算機計算 $$C^4_2$$。試試看！
巴斯卡三角形第 *n* 行的係數就是：
$$C^n_0, C^n_1, C^n_2, C^n_3, ..., C^n_n$$
二項式定理：終極公式
現在我們可以把所有東西結合起來，變成一個超棒的公式，它就是二項式定理。
對於任何正整數 *n*：
$$(a+b)^n = C^n_0a^n + C^n_1a^{n-1}b^1 + C^n_2a^{n-2}b^2 + ... + C^n_ra^{n-r}b^r + ... + C^n_na^0b^n$$
助記口訣：次方規律！
在展開式中的任何一個項，*a* 的次方加上 *b* 的次方總是等於 *n*。對於項 $$C^n_r a^{n-r}b^r$$，次方是 $$(n-r) + r = n$$。很簡單吧！
逐步示範：展開 $$(2x - 1)^4$$
別擔心，我們會一步一步來。
步驟 1：找出各個部分。
在 $$(a+b)^n$$ 中，我們有：
- n = 4
- a = 2x
- b = -1 （超級重要！務必將符號一併考慮！）
步驟 2：使用公式作為模板寫出展開式。
$$(2x-1)^4 = C^4_0(2x)^4(-1)^0 + C^4_1(2x)^3(-1)^1 + C^4_2(2x)^2(-1)^2 + C^4_3(2x)^1(-1)^3 + C^4_4(2x)^0(-1)^4$$
步驟 3：計算係數 ($$C^n_r$$ 值)。
$$C^4_0=1, C^4_1=4, C^4_2=6, C^4_3=4, C^4_4=1$$
步驟 4：代入係數並仔細簡化每一項。
- 第 1 項：$$1 \cdot (16x^4) \cdot (1) = 16x^4$$
- 第 2 項：$$4 \cdot (8x^3) \cdot (-1) = -32x^3$$
- 第 3 項：$$6 \cdot (4x^2) \cdot (1) = 24x^2$$
- 第 4 項：$$4 \cdot (2x) \cdot (-1) = -8x$$
- 第 5 項：$$1 \cdot (1) \cdot (1) = 1$$
步驟 5：將所有項組合起來。
$$(2x-1)^4 = 16x^4 - 32x^3 + 24x^2 - 8x + 1$$
常見錯誤提醒！
- 負號：忘記把「b」項的負號（例如在 $$(a-b)^n$$ 中）一併計算是最常見的錯誤。記住，$$b$$ 是負數！
- 對整個項進行次方運算：當你遇到像 $$(2x)^3$$ 這樣的項時，記得要同時對 2 和 x 進行立方。它是 $$8x^3$$，而不是 $$2x^3$$。
3. 找出特定的項
有時候題目不會要求完整的展開式。它可能只會問第 5 項，或者包含 $$x^7$$ 的項。為了解決這類問題，我們將使用通項公式。
展開式中任何一個項的公式是：
通項：$$T_{r+1} = C^n_r a^{n-r} b^r$$
等等，為什麼是 $$T_{r+1}$$？這有點小技巧，因為第一項使用 r=0 ($$C^n_0$$)，第二項使用 r=1 ($$C^n_1$$)，依此類推。所以項的序號總是比 *r* 的值大 1。
- 要找出第 1 項 ($$T_1$$)，使用 r = 0。
- 要找出第 3 項 ($$T_3$$)，使用 r = 2。
- 要找出第 10 項 ($$T_{10}$$)，使用 r = 9。
例子 1：找出 $$(x+2y)^9$$ 的第 4 項
1. 找出各個部分：n=9, a=x, b=2y。
2. 找出 r：對於第 4 項 ($$T_4$$)，我們使用 r = 3。
3. 代入通項公式：
$$T_{3+1} = C^9_3 (x)^{9-3} (2y)^3$$
$$T_4 = 84 \cdot x^6 \cdot (8y^3)$$
$$T_4 = 672x^6y^3$$
例子 2：找出 $$(x^2 + \frac{3}{x})^7$$ 展開式中包含 $$x^8$$ 的項
這是一個經典的考試題型！別慌。
1. 找出各個部分：n=7, a=$$x^2$$, b=$$3x^{-1}$$。（通常將分數如 $$\frac{3}{x}$$ 寫成負次方會更方便）。
2. 寫出通項，但暫時將「r」保留為變數。
$$T_{r+1} = C^7_r (x^2)^{7-r} (3x^{-1})^r$$
3. 只關注 x 的次方並簡化它們。
$$T_{r+1} = C^7_r \cdot 3^r \cdot (x^2)^{7-r} \cdot (x^{-1})^r$$
$$T_{r+1} = ... \cdot x^{2(7-r)} \cdot x^{-r}$$
$$T_{r+1} = ... \cdot x^{14-2r-r}$$
$$T_{r+1} = ... \cdot x^{14-3r}$$
4. 將 x 的次方設為你需要的數字（在此例子中是 8），然後解出 r。
$$14 - 3r = 8$$
$$6 = 3r$$
$$r = 2$$
5. 現在你知道 r=2 了！將它代回完整的通項公式，找出完整的項。
$$T_{2+1} = C^7_2 (x^2)^{7-2} (3x^{-1})^2$$
$$T_3 = 21 \cdot (x^2)^5 \cdot (3^2(x^{-2}))$$
$$T_3 = 21 \cdot x^{10} \cdot 9x^{-2}$$
$$T_3 = 189 x^8$$
因此，包含 $$x^8$$ 的項是 $$189x^8$$。
重點提示
通項公式 $$T_{r+1} = C^n_r a^{n-r} b^r$$ 是你找出特定項的最佳幫手。只需記住項的序號總是「r+1」。
4. 最後補充：求和符號 ($$\Sigma$$)
根據課程大綱，你需要認識用希臘字母 Sigma ($$\Sigma$$) 以簡潔形式寫成的二項式展開式，這個符號意指「求和」。
完整的二項式定理：
$$(a+b)^n = C^n_0a^nb^0 + C^n_1a^{n-1}b^1 + ... + C^n_na^0b^n$$
可以寫成：
$$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C^n_r a^{n-r} b^r$$
這個符號的意思很簡單：「從 r=0 開始，把它代入公式 $$C^n_r a^{n-r} b^r$$。然後，再對 r=1、r=2 依此類推，一直到 r=n 為止，都進行同樣的操作。最後，把所有這些結果加起來。」
你不需要用它來進行複雜的計算，但你應該知道它只是二項式定理的一種簡寫形式。
章節總結
快速複習箱
- 二項式定理：
$$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C^n_r a^{n-r} b^r$$ - 通項（適用於第 $$(r+1)$$ 項）：
$$T_{r+1} = C^n_r a^{n-r} b^r$$
我們學會了兩種主要方法來找出係數：巴斯卡三角形（適用於較小的 *n*）和組合 $$C^n_r$$（適用於所有情況！）。記住主要的規律：「a」的次方遞減，「b」的次方遞增，而且它們的總和總是 *n*。
這是一個基礎課題，所以記得自己多練習幾題展開式。你一定能掌握的！