M1 統計學：二項分佈和泊松分佈嘅應用
大家好！歡迎來到M1統計學中最實用嘅課題之一。喺之前嘅章節中，你哋學習咗兩個強大嘅概率工具：二項分佈同泊松分佈。而家，係時候將佢哋應用出嚟喇！
呢一章嘅重點就係要你哋成為一個概率偵探。你將會學識點樣分析一個現實世界嘅問題，並搞清楚應該用邊個工具去解決問題。就好似你識得幾時用鎚仔，幾時用螺絲批一樣。掌握咗呢一點，你就能夠解決林林總總嘅問題，從工廠嘅品質管制到預測商店嘅顧客流量。我哋開始啦！
1. 快速回顧：認識呢啲分佈
喺我哋應用佢哋之前，不如先快速回顧一下我哋嘅兩個主角。就算你生疏咗少少都唔使擔心，呢個回顧會幫你追返進度！
二項分佈：計算成功次數
當你遇到一個情況，當中包含固定次數嘅試驗，而每次試驗都只有兩種可能嘅結果（例如成功/失敗、是/否、有缺陷/無缺陷）時，就應該諗起二項分佈。
例子：想像你喺度估緊一份10題嘅多項選擇題測驗。每條問題都係一次「試驗」。你答啱（「成功」）或者答錯（「失敗」）。二項分佈可以幫我哋搵到恰好答啱例如3條問題嘅概率。
二項分佈嘅條件 (記住B.I.N.S.口訣！)
要一個情況可以用二項分佈嚟建模，佢必須符合以下四個條件：
• Binary (二元)：每次試驗只有兩種可能結果（成功或失敗）。
• Independent (獨立)：一次試驗嘅結果唔會影響另一次試驗嘅結果。
• Number of trials (固定次數)：試驗次數 n 係預先固定嘅。
• Same probability (相同概率)：每次試驗成功嘅概率 p 都係一樣嘅。
你需要用到嘅公式
如果隨機變數 X 服從二項分佈，我哋寫成 $$X \sim B(n, p)$$
• 概率公式：喺 n 次試驗中獲得恰好 k 次成功嘅概率係：
$$ P(X=k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k} $$• 平均值（期望值）：平均成功次數。
$$ E(X) = np $$• 變異數：衡量結果分散程度嘅指標。
$$ Var(X) = np(1-p) $$重點提示
當你喺固定次數嘅嘗試 (n) 中計算「成功」嘅次數時，就用二項分佈。
泊松分佈：計算喺某個區間內發生嘅事件次數
當你計算一個事件喺時間、面積或空間嘅固定區間內發生嘅次數時，就應該諗起泊松分佈。關鍵係呢啲事件係隨機發生並以恆定嘅平均速率發生嘅。
例子：想像你喺一間電話中心做嘢。你想知道喺下一個小時內恰好接到5個電話嘅概率。你知平均每小時接到8個電話。泊松分佈就係處理呢種情況嘅最佳工具。
泊松分佈嘅條件
• 事件以恆定平均速率（用 λ 表示）發生。
• 事件係隨機且互相獨立嘅（一個電話嘅到來唔會令另一個電話更可能或更唔可能到來）。
你需要用到嘅公式
如果隨機變數 X 服從泊松分佈，我哋寫成 $$X \sim Po(\lambda)$$ 其中 λ (lambda) 係喺指定區間內事件發生嘅平均次數。
• 概率公式：喺該區間內恰好發生 k 次事件嘅概率係：
$$ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$• 平均值（期望值）：呢個就係平均速率！
$$ E(X) = \lambda $$• 變異數：超容易記！
$$ Var(X) = \lambda $$你知道嗎？
對於泊松分佈，平均值同變異數永遠都係一樣嘅！呢個係一個獨有嘅特性，有時會係考試題目嘅一個小提示。
重點提示
當你計算喺連續嘅區間（例如時間或空間）內發生嘅事件次數，同埋畀咗一個平均速率 (λ) 時，就用泊松分佈。
2. 重頭戲：如何選擇合適嘅分佈
呢個係呢一章最重要嘅技巧。當你閱讀一個問題時，你需要尋找線索嚟決定佢係一個二項分佈問題定係泊松分佈問題。呢度有一個方便嘅比較表嚟幫你決定。
| 特徵 | 二項分佈 | 泊松分佈 | | ----------------------- | ----------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------- | | 我哋數緊啲乜？ | 成功嘅次數 | 事件嘅次數 | | 設定係點？ | 喺固定次數嘅試驗 (n) 中 | 喺固定區間（時間、空間等）內 | | 主要參數 | n（試驗次數）同 p（成功概率） | λ（區間內事件發生嘅平均次數） | | 線索詞 | 「20件物品中...」、「擲咗15次銀仔...」、「50個樣本中...」 | 「每小時...」、「每平方米...」、「一分鐘內...」 | | 例子 | 擲10次銀仔有3次係公嘅概率。 | 一頁書上面有5個錯字嘅概率。 |簡單決策指南
當你閱讀一個問題時，問自己呢啲問題：
1. 我係咪畀咗一個固定次數嘅嘗試（例如 n=20），同埋每次嘗試嘅成功概率（例如 p=0.1）？
如果係，咁幾乎肯定係二項分佈。
2. 我係咪畀咗一個喺一段時間或空間內發生嘅某樣嘢嘅平均速率（例如每小時3個顧客）？
如果係，咁幾乎肯定係泊松分佈。
就算一開始覺得有啲難都唔使擔心。做多啲練習，你就會越來越快咁搵到線索㗎喇！
3. 實例演練：將理論付諸實踐
例子1：籃球員 (二項分佈)
一位籃球員射入罰球嘅概率係70%。如果佢喺一場比賽中射8個罰球，佢恰好射入其中6個嘅概率係幾多？
逐步解答：
1. 判斷分佈：
• 有冇固定次數嘅試驗？有，n = 8 個罰球。
• 有冇兩種結果？有，射入（「成功」）或者射失（「失敗」）。
• 成功概率係常數？有，每個罰球嘅 p = 0.7。
• 試驗係咪獨立？有，一次射球唔會影響下一次。
呢個完全符合 B.I.N.S. 嘅條件。所以，我哋用二項分佈！我哋有 $$X \sim B(8, 0.7)$$。
2. 確定變數：
• n = 8
• p = 0.7
• 1-p = 0.3
• k = 6（我哋想得到恰好6次成功）
3. 套用公式：
$$ P(X=6) = C_6^8 (0.7)^6 (0.3)^{8-6} $$
$$ P(X=6) = 28 \times (0.7)^6 \times (0.3)^2 $$
$$ P(X=6) = 28 \times 0.117649 \times 0.09 $$
$$ P(X=6) \approx 0.2965 $$
4. 最終答案：
佢恰好射入6個罰球嘅概率約為 0.2965 (或 29.65%)。
例子2：咖啡店 (泊松分佈)
一間小型咖啡店平均每10分鐘有4個顧客。喺10分鐘內恰好有3個顧客到達嘅概率係幾多？咁喺5分鐘內呢？
甲部：10分鐘內嘅概率
1. 判斷分佈：
我哋計算緊喺固定區間（10分鐘）內嘅事件（顧客到來）次數，同埋畀咗平均速率。呢個係一個經典嘅泊松分佈問題！
2. 確定變數：
• 區間係10分鐘。
• 呢個區間嘅平均速率係 λ = 4。
• 我哋想搵恰好 k = 3 個事件發生嘅概率。
所以，$$X \sim Po(4)$$。
3. 套用公式：
$$ P(X=3) = \frac{e^{-4} 4^3}{3!} $$
$$ P(X=3) = \frac{e^{-4} \times 64}{6} $$
$$ P(X=3) \approx 0.018315 \times \frac{64}{6} \approx 0.1954 $$
4. 最終答案：
喺10分鐘內恰好有3個顧客到達嘅概率約為 0.1954。
乙部：5分鐘內嘅概率
1. 調整 λ！ （呢個係常見小技巧！）
題目而家係關於一個5分鐘嘅區間，而唔係10分鐘。我哋必須調整我哋嘅平均速率 λ 去配合新嘅區間。
• 原始速率：每10分鐘有4個顧客。
• 新速率：區間係一半長，所以顧客嘅平均數量亦會減半。
• 新 λ = 4 × (5 / 10) = 每5分鐘2個顧客。
所以，呢一部分我哋用 $$Y \sim Po(2)$$。
2. 用新嘅 λ 套用公式：
我哋仍然想搵恰好3個顧客嘅概率，所以 k = 3。
$$ P(Y=3) = \frac{e^{-2} 2^3}{3!} $$
$$ P(Y=3) = \frac{e^{-2} \times 8}{6} $$
$$ P(Y=3) \approx 0.1353 \times \frac{8}{6} \approx 0.1804 $$
常見錯誤要避免
• 忘記調整 λ！永遠都要檢查題目中嘅時間區間，同埋畀出平均速率嘅區間係咪一樣。如果唔係，你就必須按比例調整 λ。
4. 特別情況：泊松分佈近似二項分佈
有時，一個問題睇落係二項分佈，但數值計算上會非常困難。想像吓 $$X \sim B(2000, 0.001)$$。計算 $$C_{2}^{2000}$$ 簡直係惡夢！
好彩，有個捷徑。當 n 非常大而 p 非常小嘅時候，二項分佈就會好似泊松分佈。我哋可以用泊松分佈嚟做一個簡單嘅近似！
幾時可以用呢個近似法？
當一個二項分佈符合以下條件時，就可以用：
• n 係大數（一般經驗法則係 n > 50）
• p 係小數（一般經驗法則係 p < 0.1）
點樣做？
好簡單㗎！只係將泊松分佈嘅平均速率 λ 等於二項分佈嘅平均值 (np)。
神奇一步：計算 $$ \lambda = np $$
例子3：有缺陷嘅晶片 (泊松近似)
一間工廠生產電腦晶片，其中有0.2%係有缺陷嘅。喺一個1000塊晶片嘅隨機樣本中，恰好有4塊係有缺陷嘅概率係幾多？
逐步解答：
1. 判斷原始分佈：
呢個係一個二項分佈問題。我哋有固定次數嘅試驗 (n=1000)，同埋恆定嘅成功概率（晶片有缺陷，p=0.002）。所以，$$X \sim B(1000, 0.002)$$。
2. 檢查近似法是否適用：
• n = 1000（非常大！ ✓）
• p = 0.002（非常小！ ✓）
條件完美。我哋可以用泊松近似。呢個會比計算 $$C_4^{1000}$$ 容易得多！
3. 計算新嘅 λ：
$$ \lambda = np = 1000 \times 0.002 = 2 $$
4. 使用泊松公式：
我哋而家當呢個係一個泊松分佈問題，其中 λ=2，我哋想搵 k=4 嘅概率。
所以我哋用 $$X' \sim Po(2)$$。
$$ P(X'=4) = \frac{e^{-2} 2^4}{4!} $$
$$ P(X'=4) = \frac{e^{-2} \times 16}{24} $$
$$ P(X'=4) \approx 0.1353 \times \frac{16}{24} \approx 0.0902 $$
5. 最終答案：
搵到恰好4塊有缺陷晶片嘅近似概率約為 0.0902。
重點提示
如果你見到一個二項分佈問題，當中 n 非常大，而 p 非常小，你嘅腦袋應該尖叫：「泊松近似！」只需計算 λ=np，然後將佢當成一個簡單嘅泊松分佈問題嚟解決就得㗎喇。