M1 統計學：二項分佈和泊松分佈的應用
大家好！歡迎來到M1統計學中最實用的課題之一。在之前的章節中，你們學習了兩個強大的機率工具：二項分佈和泊松分佈。現在，是時候將它們應用出來了！
這一章的重點就是要你們成為一個機率偵探。你將會學會如何分析一個現實世界的問題，並弄清楚應該用哪個工具去解決問題。就好像你懂得何時用錘子，何時用螺絲刀一樣。掌握了這一點，你就能夠解決各式各樣的問題，從工廠的品質管制到預測商店的顧客流量。我們開始吧！
1. 快速回顧：認識這些分佈
在我們應用它們之前，不如先快速回顧一下我們的兩個主角。就算你生疏了少許都不用擔心，這個回顧會幫你追回進度！
二項分佈：計算成功次數
當你遇到一個情況，當中包含固定次數的試驗，而每次試驗都只有兩種可能的結果（例如成功/失敗、是/否、有缺陷/無缺陷）時，就應該想起二項分佈。
例子：想像你正在猜一份10題的多項選擇題測驗。每條問題都是一次「試驗」。你答對（「成功」）或者答錯（「失敗」）。二項分佈可以幫助我們找到恰好答對例如3條問題的機率。
二項分佈的條件 (記住B.I.N.S.口訣！)
要一個情況可以用二項分佈來建模，它必須符合以下四個條件：
• Binary (二元)：每次試驗只有兩種可能結果（成功或失敗）。
• Independent (獨立)：一次試驗的結果不會影響另一次試驗的結果。
• Number of trials (固定次數)：試驗次數 n 是預先固定的。
• Same probability (相同機率)：每次試驗成功的機率 p 都是一樣的。
你需要用到的公式
如果隨機變數 X 服從二項分佈，我們寫成 $$X \sim B(n, p)$$
• 機率公式：在 n 次試驗中獲得恰好 k 次成功的機率是：
$$ P(X=k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k} $$• 平均值（期望值）：平均成功次數。
$$ E(X) = np $$• 變異數：衡量結果分散程度的指標。
$$ Var(X) = np(1-p) $$重點提示
當你在固定次數的嘗試 (n) 中計算「成功」的次數時，就用二項分佈。
泊松分佈：計算在某個區間內發生的事件次數
當你計算一個事件在時間、面積或空間的固定區間內發生的次數時，就應該想起泊松分佈。關鍵是這些事件是隨機發生並以恆定的平均速率發生的。
例子：想像你在一家電話中心工作。你想知道在下一個小時內恰好接到5個電話的機率。你知平均每小時接到8個電話。泊松分佈就是處理這種情況的最佳工具。
泊松分佈的條件
• 事件以恆定平均速率（用 λ 表示）發生。
• 事件是隨機且互相獨立的（一個電話的到來不會讓另一個電話更可能或更不可能到來）。
你需要用到的公式
如果隨機變數 X 服從泊松分佈，我們寫成 $$X \sim Po(\lambda)$$ 其中 λ (lambda) 是在指定區間內事件發生的平均次數。
• 機率公式：在該區間內恰好發生 k 次事件的機率是：
$$ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$• 平均值（期望值）：這個就是平均速率！
$$ E(X) = \lambda $$• 變異數：超容易記！
$$ Var(X) = \lambda $$你知道嗎？
對於泊松分佈，平均值和變異數永遠都是一樣的！這是一個獨有的特性，有時會是考試題目的一個小提示。
重點提示
當你在連續的區間（例如時間或空間）內發生的事件次數，以及給了一個平均速率 (λ) 時，就用泊松分佈。
2. 重頭戲：如何選擇合適的分佈
這是這一章最重要的技巧。當你閱讀一個問題時，你需要尋找線索來決定它是一個二項分佈問題還是泊松分佈問題。這裡有一個方便的比較表來幫助你決定。
| 特徵 | 二項分佈 | 泊松分佈 || ----------------------- | ----------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------- || 我們數的是什麼？ | 成功的次數 | 事件的次數 || 設定是怎樣的？ | 在固定次數的試驗 (n) 中 | 在固定區間（時間、空間等）內 || 主要參數 | n（試驗次數）和 p（成功機率） | λ（區間內事件發生的平均次數） || 線索詞 | 「20件物品中...」、「擲了15次硬幣...」、「50個樣本中...」 | 「每小時...」、「每平方米...」、「一分鐘內...」 || 例子 | 擲10次硬幣有3次是正面的機率。 | 一頁書上面有5個錯字的機率。 |簡單決策指南
當你閱讀一個問題時，問自己這些問題：
1. 我是不是給了一個固定次數的嘗試（例如 n=20），以及每次嘗試的成功機率（例如 p=0.1）？
如果是，那幾乎肯定是二項分佈。
2. 我是不是給了一個在一段時間或空間內發生的某樣東西的平均速率（例如每小時3個顧客）？
如果是，那幾乎肯定是泊松分佈。
就算一開始覺得有些難都不用擔心。多做一些練習，你就會越來越快地找到線索了！
3. 實例演練：將理論付諸實踐
例子1：籃球員 (二項分佈)
一位籃球員射入罰球的機率是70%。如果他在一場比賽中射8個罰球，他恰好射入其中6個的機率是多少？
逐步解答：
1. 判斷分佈：
• 有沒有固定次數的試驗？有，n = 8 個罰球。
• 有沒有兩種結果？有，射入（「成功」）或者射失（「失敗」）。
• 成功機率是常數？有，每個罰球的 p = 0.7。
• 試驗是不是獨立？有，一次射球不會影響下一次。
這完全符合 B.I.N.S. 的條件。所以，我們用二項分佈！我們有 $$X \sim B(8, 0.7)$$。
2. 確定變數：
• n = 8
• p = 0.7
• 1-p = 0.3
• k = 6（我們想得到恰好6次成功）
3. 套用公式：
$$ P(X=6) = C_6^8 (0.7)^6 (0.3)^{8-6} $$
$$ P(X=6) = 28 \times (0.7)^6 \times (0.3)^2 $$
$$ P(X=6) = 28 \times 0.117649 \times 0.09 $$
$$ P(X=6) \approx 0.2965 $$
4. 最終答案：
他恰好射入6個罰球的機率約為 0.2965 (或 29.65%)。
例子2：咖啡店 (泊松分佈)
一家小型咖啡店平均每10分鐘有4個顧客。在10分鐘內恰好有3個顧客到達的機率是多少？那麼在5分鐘內呢？
甲部：10分鐘內的機率
1. 判斷分佈：
我們計算著在固定區間（10分鐘）內的事件（顧客到來）次數，以及給了平均速率。這是一個經典的泊松分佈問題！
2. 確定變數：
• 區間是10分鐘。
• 這個區間的平均速率是 λ = 4。
• 我們想找恰好 k = 3 個事件發生的機率。
所以，$$X \sim Po(4)$$。
3. 套用公式：
$$ P(X=3) = \frac{e^{-4} 4^3}{3!} $$
$$ P(X=3) = \frac{e^{-4} \times 64}{6} $$
$$ P(X=3) \approx 0.018315 \times \frac{64}{6} \approx 0.1954 $$
4. 最終答案：
在10分鐘內恰好有3個顧客到達的機率約為 0.1954。
乙部：5分鐘內的機率
1. 調整 λ！ （這是一個常見小技巧！）
題目現在是關於一個5分鐘的區間，而不是10分鐘。我們必須調整我們的平均速率 λ 來配合新的區間。
• 原始速率：每10分鐘有4個顧客。
• 新速率：區間是一半長，所以顧客的平均數量亦會減半。
• 新 λ = 4 × (5 / 10) = 每5分鐘2個顧客。
所以，這一部份我們用 $$Y \sim Po(2)$$。
2. 用新的 λ 套用公式：
我們仍然想找恰好3個顧客的機率，所以 k = 3。
$$ P(Y=3) = \frac{e^{-2} 2^3}{3!} $$
$$ P(Y=3) = \frac{e^{-2} \times 8}{6} $$
$$ P(Y=3) \approx 0.1353 \times \frac{8}{6} \approx 0.1804 $$
常見錯誤要避免
• 忘記調整 λ！永遠都要檢查題目中的時間區間，以及給出平均速率的區間是不是一樣。如果不是，你就必須按比例調整 λ。
4. 特別情況：泊松分佈近似二項分佈
有時，一個問題看起來是二項分佈，但數值計算上會非常困難。想像一下 $$X \sim B(2000, 0.001)$$。計算 $$C_{2}^{2000}$$ 簡直是惡夢！
好彩，有個捷徑。當 n 非常大而 p 非常小的時候，二項分佈就會好像泊松分佈。我們可以用泊松分佈來做一個簡單的近似！
何時可以用這個近似法？
當一個二項分佈符合以下條件時，就可以用：
• n 是大數（一般經驗法則是 n > 50）
• p 是小數（一般經驗法則是 p < 0.1）
如何做？
很簡單的！只是將泊松分佈的平均速率 λ 等於二項分佈的平均值 (np)。
神奇一步：計算 $$ \lambda = np $$
例子3：有缺陷的晶片 (泊松近似)
一家工廠生產電腦晶片，其中有0.2%是有缺陷的。在一個1000塊晶片的隨機樣本中，恰好有4塊是有缺陷的機率是多少？
逐步解答：
1. 判斷原始分佈：
這是一個二項分佈問題。我們有固定次數的試驗 (n=1000)，以及恆定的成功機率（晶片有缺陷，p=0.002）。所以，$$X \sim B(1000, 0.002)$$。
2. 檢查近似法是否適用：
• n = 1000（非常大！ ✓）
• p = 0.002（非常小！ ✓）
條件完美。我們可以用泊松近似。這會比計算 $$C_4^{1000}$$ 容易得多！
3. 計算新的 λ：
$$ \lambda = np = 1000 \times 0.002 = 2 $$
4. 使用泊松公式：
我們現在當這是一個泊松分佈問題，其中 λ=2，我們想找 k=4 的機率。
所以我們用 $$X' \sim Po(2)$$。
$$ P(X'=4) = \frac{e^{-2} 2^4}{4!} $$
$$ P(X'=4) = \frac{e^{-2} \times 16}{24} $$
$$ P(X'=4) \approx 0.1353 \times \frac{16}{24} \approx 0.0902 $$
5. 最終答案：
找到恰好4塊有缺陷晶片的近似機率約為 0.0902。
重點提示
如果你看到一個二項分佈問題，當中 n 非常大，而 p 非常小，你的腦袋應該尖叫：「泊松近似！」只需計算 λ=np，然後將它當成一個簡單的泊松分佈問題來解決就可以了。