M1 學習筆記：二項分佈

各位同學好！歡迎來到統計學其中一個最有用的課題筆記：二項分佈 (The Binomial Distribution)。就算個名聽落好複雜都唔使擔心，其實佢係個好實用、好有邏輯嘅工具，幫我哋理解日常生活中經常遇到嘅情況。

你有冇諗過，喺一份多項選擇題測驗入面，估中答案嘅機會有幾大？又或者一個籃球員射入若干個罰球嘅概率係幾多？二項分佈就係解答呢啲問題嘅關鍵！喺呢一章，你會學到：

  • 咩係「伯努利試驗」(Bernoulli trial) (佢係最簡單嘅構成要素)。
  • 點樣辨識符合二項分佈嘅情況。
  • 點樣運用公式嚟計算概率。
  • 點樣快速搵到平均值 (期望值) 同方差。

等我哋一齊深入了解吓啦，你就會發現佢比想像中簡單得多㗎！

1. 基礎構成：伯努利試驗

喺我哋識跑之前，我哋要先學行。「二項分佈」嘅「行」就係「伯努利試驗 (Bernoulli trial)」。佢個名聽落好似好專業，但其實只係一個好簡單嘅概念。

一個伯努利試驗係指一個單次實驗，而佢只有兩種可能嘅結果。

我哋通常會將呢兩種結果標籤為：

  • 成功 (Success)：我哋有興趣數算嘅結果。
  • 失敗 (Failure)：另一個可能嘅結果。

重要提示：「成功」唔一定係指一件好事！如果你係研究某件產品有缺陷嘅概率，咁發現一件「有缺陷」嘅產品，對呢個實驗嚟講就係「成功」。佢只係一個標籤，用嚟表示你正在數算嘅嗰樣嘢。

伯努利試驗嘅例子：
  • 擲一個公字一次： 成功 = 擲到公，失敗 = 擲到字。
  • 射一次罰球： 成功 = 射入，失敗 = 射失。
  • 生產線上嘅單一產品： 成功 = 產品有缺陷，失敗 = 產品冇缺陷。

喺任何伯努利試驗入面，我哋會用 p 代表成功嘅概率，而 1-p 就代表失敗嘅概率。

重點提示

伯努利試驗係一個單次實驗，只有兩個結果：成功或失敗。佢係二項分佈嘅基本構成部分。

2. 咩係二項分佈？

咁當我哋連續做多次伯努利試驗嘅時候，會發生咩事呢？呢個時候，我哋就會得到一個二項分佈 (Binomial distribution)！

二項分佈描述咗喺固定次數嘅獨立伯努利試驗中，獲得特定數目成功嘅概率。

等我哋返去擲公字個例子。
擲一次係一個伯努利試驗。
連續擲五次就係一個二項實驗。 我哋就可以問類似「喺呢五次擲公字中，恰好擲到 3 次公嘅概率係幾多？」呢類問題。

符號表示：X ~ B(n, p)

呢個係表示一個隨機變數符合二項分佈嘅官方寫法。佢睇落好似程式碼咁，但一拆開就簡單易明㗎啦：

  • X：呢個係我哋嘅離散隨機變數，代表我哋得到嘅成功次數。例如，X 可以係「喺 5 次擲公字中，擲到公嘅次數」。
  • ~：呢條小波浪線只係表示「服從…分佈」。
  • B：代表 Binomial (二項)。
  • (n, p)：呢兩個係分佈嘅「參數 (parameters)」。
    • n = 總試驗次數。
    • p = 任何單次試驗成功嘅概率。

例子：如果我哋擲一個公平嘅公字 10 次，同埋我哋數算擲到公嘅次數，咁符號表示就會係 X ~ B(10, 0.5)。喺呢度，n=10，p=0.5。

3. 點樣判斷係咪二項分佈問題？用 B.I.N.S. 口訣！

你唔可以將二項分佈套用喺所有問題度！一個情況必須符合四個特定條件。一個好好嘅方法去記住佢哋就係用口訣 B.I.N.S.

B.I.N.S. 清單：

B - Binary (二元)：每次試驗係咪只有兩種可能結果 (成功/失敗)？
例子：擲骰擲到「4」(成功) 同 擲唔到「4」(失敗)。

I - Independent (獨立)：一次試驗嘅結果係咪完全唔受之前試驗結果嘅影響？
例子：擲公字係獨立嘅。個公字唔會記得上次嘅結果。
非例子：從一副牌中不放回地抽取兩張牌。第二張牌嘅概率取決於第一張牌係咩。

N - Number of Trials (試驗次數)：試驗次數 n 係咪事先固定咗？
例子：「我哋會恰好擲公字 20 次。」(固定)
非例子：「我哋會一直擲公字，直到擲到 3 次公為止。」(冇固定)

S - Same Probability (相同概率)：成功嘅概率 p 係咪每次試驗都相同？
例子：擲一個公平骰擲到「6」嘅概率永遠係 1/6，無論你擲幾多次。

常見錯誤要避免

最常見嘅錯誤係喺冇檢查 B.I.N.S. 條件嘅情況下，就假設個問題係二項分佈。喺開始計算之前，記得永遠要喺腦海中快速檢查一次呢份清單！

重點提示

如果一個情況符合晒所有四個 B.I.N.S. 條件，咁佢就係一個二項分佈問題。如果其中一個條件都唔符合，你就唔可以用二項分佈公式。

4. 公式：你嘅計算工具

好啦，我哋已經辨識到一個二項分佈問題。咁點樣搵到概率呢？我哋會用到二項概率公式 (Binomial Probability Formula)。

如果 X ~ B(n, p)，咁得到恰好 k 次成功嘅概率係：

$$P(X=k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k}$$

唔好俾佢嚇親！等我哋將佢拆開成三個簡單部分：

  1. $$C_k^n$$ 呢個部分話俾我哋知喺「n」次試驗中，有「k」次成功嘅排列方式有幾多種。你喺核心數學 (Core Maths) 都見過佢㗎啦！佢就係組合公式，你可以喺你嘅計數機上搵到佢嘅 nCr 功能鍵。(例如，C_2^5 意思係「喺 5 件物品中，有幾多種方法可以選出 2 件？」)

  2. $$p^k$$ 呢個係得到「k」次成功嘅概率。如果一次成功嘅概率係「p」，咁「k」次成功嘅概率就係 p 乘自己 k 次。

  3. $$(1-p)^{n-k}$$ 呢個係其餘「n-k」次試驗為失敗嘅概率。如果成功嘅概率係「p」，咁失敗嘅概率就係「1-p」。我哋需要「n-k」次失敗。
逐步示範例子

問題：一個籃球員射入任何一個罰球嘅機會係 70%。如果佢射 5 球，佢恰好射入 4 球嘅概率係幾多？

步驟 1：識別 n、p 同 k。

  • 呢個情況係二項分佈 (檢查 B.I.N.S.！)。
  • 試驗次數，n = 5。
  • 成功概率 (射入)，p = 0.7。
  • 我哋想要嘅成功次數，k = 4。
所以，我哋想搵 P(X=4)。

步驟 2：代入公式。 $$P(X=4) = C_4^5 (0.7)^4 (1-0.7)^{5-4}$$

步驟 3：計算每個部分。

  • $C_4^5 = 5$ (用你計數機嘅 nCr 功能)
  • $(0.7)^4 = 0.2401$
  • $(1-0.7)^{5-4} = (0.3)^1 = 0.3$

步驟 4：將佢哋相乘。 $$P(X=4) = 5 \times 0.2401 \times 0.3 = 0.36015$$ 所以，佢恰好射入 5 球中嘅 4 球，大概有 36% 嘅機會。

5. 「恰好」以外：「最少」同「最多」

試題通常會要求你計算多於一個特定數字嘅概率。佢哋可能會問「最少 2 次成功」或者「最多 3 次成功」嘅概率。

「最多 k 個」成功：P(X ≤ k)
呢個意思係 k 次成功、或者 k-1 次、或者 k-2 次、...，一直到 0 次。你需要計算每個概率再將佢哋加埋。 $$P(X \le k) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k)$$

「最少 k 個」成功：P(X ≥ k)
呢個意思係 k 次成功、或者 k+1 次、...，一直到 n 次。你可以將佢哋全部加埋，但有一個更快嘅方法：互補事件法則 (complement rule)。

所有結果嘅總概率係 1。所以，「最少 k 次」嘅概率等於 1 減去「少於 k 次」嘅概率。 $$P(X \ge k) = 1 - P(X < k)$$ $$P(X \ge k) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k-1)]$$

例子：籃球員射入最少 4 球 (總共 5 球) 嘅概率係幾多？
「最少 4 球」意思係 P(X=4) 或者 P(X=5)。 $$P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)$$
我哋之前已經搵到 P(X=4) = 0.36015。
而家我哋搵 P(X=5)： $$P(X=5) = C_5^5 (0.7)^5 (0.3)^0 = 1 \times 0.16807 \times 1 = 0.16807$$
所以，P(X ≥ 4) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822。

6. 速學：期望值與方差

有時，我哋唔需要計算特定嘅概率。我哋只係想知道平均結果，或者結果可能嘅分散程度。幸運嘅係，二項分佈嘅期望值同方差公式都非常簡單！

期望值，E(X)
呢個係如果你重複進行實驗好多好多次，預期會得到嘅平均成功次數。 $$E(X) = np$$

方差，Var(X)
呢個衡量咗分佈嘅「分散程度」。方差越大，代表結果越難預測。 $$Var(X) = np(1-p)$$

(課程備註：呢啲公式嘅證明唔係考試要求。你只需要知道佢哋同點樣運用佢哋！)

例子：

如果你擲一個公平嘅公字 100 次 (n=100, p=0.5)，預期擲到公嘅次數同方差係幾多？

期望值： $$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$$ 呢個結果完全合理！你預期會擲到 50 次公。

方差： $$Var(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times (1-0.5) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$$

你知唔知？

當 p = 0.5 嘅時候，二項分佈嘅方差係最高嘅。呢個意思係當成功同失敗嘅機會均等時 (好似擲公字咁)，一個實驗嘅結果最難預測！

章節總結：快速回顧

以下係你對二項分佈需要記住嘅絕對重點。

  • 伯努利試驗： 單次實驗，只有兩個結果 (成功/失敗)。
  • 二項條件 (B.I.N.S.)：
    • Binary outcomes (二元結果)
    • Independent trials (獨立試驗)
    • Number of trials is fixed (試驗次數固定)
    • Same probability of success (成功概率相同)
  • 符號表示：
    $$X \sim B(n, p)$$
  • 概率公式：
    $$P(X=k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k}$$
  • 期望值：
    $$E(X) = np$$
  • 方差：
    $$Var(X) = np(1-p)$$

就係咁多！透過理解呢啲核心概念，你就掌握咗一個強大嘅工具，可以解決各種各樣嘅概率問題。勤力練習使用 B.I.N.S. 清單同埋公式，你很快就會精通呢個課題㗎啦。祝你學習順利！