M1 學習筆記：二項分佈

各位同學好！歡迎來到統計學其中一個最有用的課題筆記：二項分佈 (The Binomial Distribution)。即使名稱聽起來很複雜也不用擔心，其實它是一個非常實用、很有邏輯的工具，幫助我們理解日常生活中經常遇到的情況。

你有沒有想過，在一份多項選擇題測驗裡面，猜中答案的機會有多大？又或者一個籃球員射入若干個罰球的機率是多少？二項分佈就是解答這些問題的關鍵！在這一章，你會學到：

  • 什麼是「伯努利試驗」(Bernoulli trial) (它是最簡單的構成要素)。
  • 如何辨識符合二項分佈的情況。
  • 如何運用公式來計算機率。
  • 如何快速找到平均值 (期望值) 和方差。

讓我們一起深入了解吧，你就會發現它比想像中簡單得多！

1. 基礎構成：伯努利試驗

在我們學會跑之前，我們必須先學會走。「二項分佈」的「走」就是「伯努利試驗 (Bernoulli trial)」。它的名稱聽起來很專業，但其實只是一個很簡單的概念。

一個伯努利試驗是指一個單次實驗，而它只有兩種可能的結果。

我們通常會將這兩種結果標籤為：

  • 成功 (Success)：我們有興趣計數的結果。
  • 失敗 (Failure)：另一個可能的結果。

重要提示：「成功」不一定是指一件好事！如果你是研究某件產品有缺陷的機率，那麼發現一件「有缺陷」的產品，對這個實驗來說就是「成功」。它只是一個標籤，用來表示你正在計數的那樣東西。

伯努利試驗的例子：
  • 擲一枚硬幣一次： 成功 = 擲到正面，失敗 = 擲到反面。
  • 射一次罰球： 成功 = 射入，失敗 = 射失。
  • 生產線上的單一產品： 成功 = 產品有缺陷，失敗 = 產品無缺陷。

在任何伯努利試驗中，我們會用 p 代表成功的機率，而 1-p 就代表失敗的機率。

重點提示

伯努利試驗是一個單次實驗，只有兩個結果：成功或失敗。它是二項分佈的基本構成部分。

2. 什麼是二項分佈？

那麼當我們連續進行多次伯努利試驗的時候，會發生什麼事呢？這個時候，我們就會得到一個二項分佈 (Binomial distribution)！

二項分佈描述了在固定次數的獨立伯努利試驗中，獲得特定數目成功的機率。

讓我們回到擲硬幣的例子。
擲一次是一個伯努利試驗。
連續擲五次就是一個二項實驗。 我們就可以問類似「在這五次擲硬幣中，恰好擲到 3 次正面的機率是多少？」這類問題。

符號表示：X ~ B(n, p)

這是表示一個隨機變數符合二項分佈的官方寫法。它看起來像程式碼，但一拆開就簡單易懂了：

  • X：這是我們的離散隨機變數，代表我們得到的成功次數。例如，X 可以是「在 5 次擲硬幣中，擲到正面的次數」。
  • ~：這條小波浪線只是表示「服從…分佈」。
  • B：代表 Binomial (二項)。
  • (n, p)：這兩個是分佈的「參數 (parameters)」。
    • n = 總試驗次數。
    • p = 任何單次試驗成功的機率。

例子：如果我們擲一枚公平的硬幣 10 次，以及我們計數擲到正面的次數，那麼符號表示就會是 X ~ B(10, 0.5)。在這裡，n=10，p=0.5。

3. 如何判斷是不是二項分佈問題？用 B.I.N.S. 口訣！

你不能將二項分佈套用在所有問題上！一個情況必須符合四個特定條件。一個很好的方法去記住它們就是用口訣 B.I.N.S.

B.I.N.S. 清單：

B - Binary (二元)：每次試驗是不是只有兩種可能結果 (成功/失敗)？
例子：擲骰擲到「4」(成功) 和 擲不到「4」(失敗)。

I - Independent (獨立)：一次試驗的結果是不是完全不受之前試驗結果的影響？
例子：擲硬幣是獨立的。那枚硬幣不會記得上次的結果。
非例子：從一副牌中不放回地抽取兩張牌。第二張牌的機率取決於第一張牌是什麼。

N - Number of Trials (試驗次數)：試驗次數 n 是不是事先固定了？
例子：「我們會恰好擲硬幣 20 次。」(固定)
非例子：「我們會一直擲硬幣，直到擲到 3 次正面為止。」(無固定)

S - Same Probability (相同機率)：成功的機率 p 是不是每次試驗都相同？
例子：擲一個公平骰擲到「6」的機率永遠是 1/6，無論你擲多少次。

常見錯誤要避免

最常見的錯誤是在沒有檢查 B.I.N.S. 條件的情況下，就假設那個問題是二項分佈。在開始計算之前，記得永遠要在腦海中快速檢查一次這份清單！

重點提示

如果一個情況符合所有四個 B.I.N.S. 條件，那麼它就是一個二項分佈問題。如果其中一個條件都不符合，你就不能用二項分佈公式。

4. 公式：你的計算工具

好的，我們已經辨識到一個二項分佈問題。那麼如何找到機率呢？我們會用到二項機率公式 (Binomial Probability Formula)。

如果 X ~ B(n, p)，那麼得到恰好 k 次成功的機率是：

$$P(X=k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k}$$

不要被它嚇到！讓我們將它拆開成三個簡單部分：

  1. $$C_k^n$$ 這個部分告訴我們在「n」次試驗中，有「k」次成功的排列方式有多少種。你在核心數學 (Core Maths) 都見過它了！它就是組合公式，你可以在你的計算機上找到它的 nCr 功能鍵。(例如，C_2^5 意思是「在 5 件物品中，有多少種方法可以選出 2 件？」)

  2. $$p^k$$ 這是得到「k」次成功的機率。如果一次成功的機率是「p」，那麼「k」次成功的機率就是 p 乘自己 k 次。

  3. $$(1-p)^{n-k}$$ 這是其餘「n-k」次試驗為失敗的機率。如果成功的機率是「p」，那麼失敗的機率就是「1-p」。我們需要「n-k」次失敗。
逐步示範例子

問題：一個籃球員射入任何一個罰球的機會是 70%。如果他射 5 球，他恰好射入 4 球的機率是多少？

步驟 1：識別 n、p 和 k。

  • 這個情況是二項分佈 (檢查 B.I.N.S.！)。
  • 試驗次數，n = 5。
  • 成功機率 (射入)，p = 0.7。
  • 我們想要的成功次數，k = 4。
所以，我們想找 P(X=4)。

步驟 2：代入公式。$$P(X=4) = C_4^5 (0.7)^4 (1-0.7)^{5-4}$$

步驟 3：計算每個部分。

  • $C_4^5 = 5$ (用你的計算機的 nCr 功能)
  • $(0.7)^4 = 0.2401$
  • $(1-0.7)^{5-4} = (0.3)^1 = 0.3$

步驟 4：將它們相乘。$$P(X=4) = 5 imes 0.2401 imes 0.3 = 0.36015$$所以，他恰好射入 5 球中的 4 球，大約有 36% 的機會。

5. 「恰好」以外：「最少」和「最多」

試題通常會要求你計算多於一個特定數字的機率。它們可能會問「最少 2 次成功」或者「最多 3 次成功」的機率。

「最多 k 個」成功：P(X ≤ k)
這個意思是指 k 次成功、或者 k-1 次、或者 k-2 次、...，一直到 0 次。你需要計算每個機率再將它們加起來。$$P(X ule[0.5ex]{0.5em}{0.1ex} k) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k)$$

「最少 k 個」成功：P(X ≥ k)
這個意思是指 k 次成功、或者 k+1 次、...，一直到 n 次。你可以將它們全部加起來，但有一個更快的方法：互補事件法則 (complement rule)。

所有結果的總機率是 1。所以，「最少 k 次」的機率等於 1 減去「少於 k 次」的機率。$$P(X ule[0.5ex]{0.5em}{0.1ex} k) = 1 - P(X < k)$$$$P(X ule[0.5ex]{0.5em}{0.1ex} k) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k-1)]$$

例子：籃球員射入最少 4 球 (總共 5 球) 的機率是多少？
「最少 4 球」意思是指 P(X=4) 或者 P(X=5)。$$P(X ule[0.5ex]{0.5em}{0.1ex} 4) = P(X=4) + P(X=5)$$
我們之前已經找到 P(X=4) = 0.36015。
現在我們找 P(X=5)：$$P(X=5) = C_5^5 (0.7)^5 (0.3)^0 = 1 imes 0.16807 imes 1 = 0.16807$$
所以，P(X ≥ 4) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822。

6. 速學：期望值與方差

有時，我們不需要計算特定的機率。我們只是想知道平均結果，或者結果可能的分散程度。幸運的是，二項分佈的期望值和方差公式都非常簡單！

期望值，E(X)
這是如果你重複進行實驗很多很多次，預期會得到的平均成功次數。$$E(X) = np$$

方差，Var(X)
這個衡量了分佈的「分散程度」。方差越大，代表結果越難預測。$$Var(X) = np(1-p)$$

(課程備註：這些公式的證明不是考試要求。你只需要知道它們和如何運用它們！)

例子：

如果你擲一枚公平的硬幣 100 次 (n=100, p=0.5)，預期擲到正面的次數和方差是多少？

期望值：$$E(X) = np = 100 imes 0.5 = 50$$這個結果完全合理！你預期會擲到 50 次正面。

方差：$$Var(X) = np(1-p) = 100 imes 0.5 imes (1-0.5) = 100 imes 0.5 imes 0.5 = 25$$

你知道嗎？

當 p = 0.5 的時候，二項分佈的方差是最高的。這個意思是指當成功和失敗的機會均等時 (好似擲硬幣一樣)，一個實驗的結果最難預測！

章節總結：快速回顧

以下是你對二項分佈需要記住的絕對重點。

  • 伯努利試驗： 單次實驗，只有兩個結果 (成功/失敗)。
  • 二項條件 (B.I.N.S.)：
    • Binary outcomes (二元結果)
    • Independent trials (獨立試驗)
    • Number of trials is fixed (試驗次數固定)
    • Same probability of success (成功機率相同)
  • 符號表示：
    $$X \sim B(n, p)$$
  • 機率公式：
    $$P(X=k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k}$$
  • 期望值：
    $$E(X) = np$$
  • 方差：
    $$Var(X) = np(1-p)$$

就是這麼多！透過理解這些核心概念，你就掌握了一個強大的工具，可以解決各種各樣的機率問題。勤奮練習使用 B.I.N.S. 清單以及公式，你很快就會精通這個課題了。祝你學習順利！