歡迎來到二階導函數！
哈囉各位！準備好提升你的微積分技能了嗎？在本章中，我們將探索二階導函數。如果說一階導函數告訴我們事物變化的速度（例如速度），那麼二階導函數則告訴我們「這個變化」的變化速度（例如加速度！）
如果這聽起來有點抽象，不用擔心。我們會用簡單的例子來解釋。理解二階導函數是一項超能力，它能讓你掌握曲線的真實形狀，輕鬆找出極大值和極小值點，以及更多用途。讓我們開始吧！
什麼是二階導函數？ (基礎知識)
快速回顧：一階導函數
在我們深入二階導函數之前，讓我們先回顧一下一階導函數的作用。
- 對於一個函數 y = f(x)，一階導函數寫作 f'(x) 或 $$ \frac{dy}{dx} $$。
- 它告訴我們函數在任何一點的變化率。
- 從幾何角度看，它給出了曲線在那一點的切線斜率。
認識二階導函數
這個概念其實非常簡單：二階導函數就是一階導函數的導函數。你只需要微分兩次！
如果一階導函數 f'(x) 告訴你曲線的斜率，那麼二階導函數則告訴你斜率是如何變化的。斜率是變得更陡峭？還是更平緩？這些資訊揭示了曲線的形狀。
你必須知道的符號
就像一階導函數一樣，二階導函數也有幾種寫法。香港中學文憑試（HKDSE）課程要求你認識所有這些寫法：
- 如果你從 f(x) 開始，二階導函數是 f"(x)（我們讀作「f 雙撇 x」）。
- 如果你從 y 開始，二階導函數是 y"（我們讀作「y 雙撇」）。
- 萊布尼茲符號是 $$ \frac{d^2y}{dx^2} $$（我們讀作「d 二次方 y d x 二次方」）。
如何計算二階導函數
這是最簡單的部分！這是一個簡單的兩步過程。
步驟一：找出函數的一階導函數 f'(x)。
步驟二：對步驟一的結果再微分一次。就這麼簡單！
例子示範
讓我們找出 f(x) = 4x³ - 5x² + 7x - 10 的二階導函數。
- 找出第一階導函數 f'(x)。
運用冪法則，我們得到：
f'(x) = 12x² - 10x + 7 - 對 f'(x) 微分以得到 f"(x)。
現在我們對這個新函數微分：
f"(x) = 24x - 10
這就是我們的答案！4x³ - 5x² + 7x - 10 的二階導函數是 24x - 10。
重點總結
二階導函數，寫作 f"(x) 或 $$ \frac{d^2y}{dx^2} $$，是透過對函數微分兩次而得到的。它衡量了斜率的變化率。
凹凸性的故事
什麼是凹凸性？
凹凸性形容曲線彎曲的方式。想像它像一個碗。
- 向上凹（Concave Up）：曲線開口向上，像一個杯子或笑臉 🙂。它可以「盛水」。
- 向下凹（Concave Down）：曲線開口向下，像一頂帽子或愁眉苦臉 😟。它會「潑水」。
二階導函數與凹凸性的關係
這是最重要的應用！二階導函數的正負號會告訴你圖像的凹凸性。
- 如果在某區間內 f"(x) > 0，則圖像在該區間內向上凹。
記憶小貼士：正數是「加」，讓你開心地笑 🙂。 - 如果在某區間內 f"(x) < 0，則圖像在該區間內向下凹。
記憶小貼士：負數是「減」，讓你愁眉苦臉 😟。
拐點：凹凸性改變的地方
拐點是曲線上凹凸性改變的地方（從向上凹變為向下凹，或從向下凹變為向上凹）。這是曲線「情緒」轉變的點！
如何找出拐點：
- 找出二階導函數 f"(x)。
- 找出 f"(x) = 0（或 f"(x) 沒有定義的地方）的 x 值。這些是你的潛在拐點。
- 檢查這些 x 值兩側 f"(x) 的正負號。如果正負號（+/-）改變了，那麼你就找到了拐點！
例子示範
找出函數 f(x) = x³ - 6x² 的拐點。
- 找出 f"(x)。
f'(x) = 3x² - 12x
f"(x) = 6x - 12 - 解 f"(x) = 0。
6x - 12 = 0
6x = 12
x = 2 - 測試 x = 2 附近 f"(x) 的正負號。
讓我們測試左側的一點，例如 x = 1：f"(1) = 6(1) - 12 = -6（負數，所以向下凹）。
讓我們測試右側的一點，例如 x = 3：f"(3) = 6(3) - 12 = 6（正數，所以向上凹）。
由於在 x = 2 處凹凸性改變，所以那裡是一個拐點。為了得到完整的坐標，計算 f(2) = (2)³ - 6(2)² = 8 - 24 = -16。
拐點是 (2, -16)。
重點總結
f"(x) 的正負號告訴你形狀：f"(x) > 0 表示向上凹（🙂），而 f"(x) < 0 表示向下凹（😟）。拐點是凹凸性改變的地方。
二階導函數判別法 (找出極大值和極小值)
快速回顧：駐點
請記住，駐點是斜率為零的地方，所以 f'(x) = 0。這些點可以是局部極大值、局部極小值，或兩者都不是。一階導函數判別法可以幫助我們判斷這一點，但二階導函數判別法通常是更快的捷徑！
判別法解釋
二階導函數判別法利用凹凸性來判斷駐點的類型。想一想：
- 局部極小值點看起來像山谷的底部，這是一個向上凹的形狀。
- 局部極大值點看起來像山頂，這是一個向下凹的形狀。
這引導我們得出一個簡單的判別法。
逐步指南：使用二階導函數判別法
- 透過解 f'(x) = 0 找出所有駐點。我們稱其中一個解為 x = c。
- 找出二階導函數 f"(x)。
- 將你的駐點 c 代入二階導函數，求出 f"(c)。
- 檢查結果的正負號：
- 如果 f"(c) > 0（向上凹 🙂），則 (c, f(c)) 是一個局部極小值。
- 如果 f"(c) < 0（向下凹 😟），則 (c, f(c)) 是一個局部極大值。
- 如果 f"(c) = 0，判別法失效。它什麼都沒告訴我們！你必須回到並使用一階導函數判別法（檢查 f'(x) 的正負號）。
常見錯誤提醒
- 錯誤一：將判別法應用於非駐點。你必須先確認 f'(c) = 0！
- 錯誤二：假設 f"(c) = 0 就意味著它是拐點。它可能是，但為了找出極大/極小值，這只表示判別法失效，你需要使用其他方法。
重點總結
對於駐點 x = c，檢查 f"(c) 的正負號。正數 > 極小值。負數 > 極大值。零 > 判別失效。
在梯形法則中的應用
你知道嗎？
二階導函數可以告訴你使用梯形法則計算的估計值是過高還是過低！這是香港中學文憑試的常見考題。
凹凸性與梯形
想像畫一條曲線，然後在它下方畫一個梯形。梯形的頂部是連接曲線上兩點的直線。
- 如果曲線是向上凹的（像一個碗），那麼直線會在曲線之上。這表示梯形的面積會比曲線下方的實際面積大。
- 如果曲線是向下凹的（像一頂帽子），那麼直線會在曲線之下。這表示梯形的面積會比曲線下方的實際面積小。
過高/過低估計的法則
這為我們提供了一個非常簡單的法則，適用於你進行積分的區間：
- 如果在整個區間內 f"(x) > 0（向上凹），則梯形法則會產生過高估計（overestimate）。
- 如果在整個區間內 f"(x) < 0（向下凹），則梯形法則會產生過低估計（underestimate）。
逐步指南
例子：對於 $$ \int_1^3 \frac{1}{x} dx $$，梯形法則的估計是過高估計還是過低估計？
- 設 f(x) = 1/x = x⁻¹。
- 找出二階導函數 f"(x)。
f'(x) = -1x⁻² = -1/x²
f"(x) = (-1)(-2)x⁻³ = 2/x³ - 檢查 f"(x) 在區間 [1, 3] 上的正負號。
對於介於 1 和 3 之間的任何 x 值，x 都是正數。因此，x³ 是正數，而 f"(x) = 2/x³ 也會是正數。
所以，在該區間內 f"(x) > 0。 - 套用法則。
由於該函數在該區間內是向上凹的，所以梯形法則會產生一個過高估計。
重點總結
要判斷梯形法則的結果是過高估計還是過低估計，只需檢查區間內 f"(x) 的正負號。向上凹（f" > 0）➔ 過高估計。向下凹（f" < 0）➔ 過低估計。
本章總結與檢查清單
堅持到這裡，你做得太棒了！二階導函數為我們理解函數及其圖像增添了豐富的新層次。
我們學到了什麼：
- 二階導函數是一階導函數的導函數。
- f"(x) 的正負號決定了凹凸性：正數表示向上凹（🙂），負數表示向下凹（😟）。
- 拐點是凹凸性改變的地方，通常在 f"(x) = 0 處。
- 二階導函數判別法有助於判斷駐點的類型：在 x=c（其中 f'(c)=0）處，如果 f"(c) > 0 則是極小值，如果 f"(c) < 0 則是極大值。
- 對於梯形法則，向上凹（f" > 0）會導致過高估計，向下凹（f" < 0）會導致過低估計。
繼續練習，很快使用二階導函數就會像你的第二天性一樣自然。你一定做得到！