歡迎來到不定積分的世界！
各位同學！準備好探索微積分兩大核心概念之一的積分了嗎？聽到這個名字不用害怕，我們會一步步地為大家拆解它。在這一章中，你將學習不定積分是什麼，以及如何運用它。
那麼，積分到底有甚麼了不起呢？如果說微分是關於找出變化率（例如從汽車的位置找出它的速度），那麼積分就是截然相反的運算！這就像是已知速度，然後反推求出移動距離一樣。這是一個強大的工具，用來「抵消」微分，並解決各種現實世界的問題。準備好開始了嗎？
什麼是不定積分？它是微分的逆運算！
認識不定積分的概念 (課程大綱 7.1)
想想看：如果我們微分函數 $$f(x) = x^2$$，我們會得到 $$f'(x) = 2x$$。簡單吧？
現在，讓我們問一個反向問題：「哪個函數經過微分後會得到 $$2x$$？」
你很可能會說 $$x^2$$，沒錯！這種從導函數反推回原始函數的過程就叫做積分（有時也稱為反微分）。
神秘的「+ C」
這裡有一個小謎題。這些函數的導函數是什麼？
- $$y = x^2$$ --> $$ \frac{dy}{dx} = 2x $$
- $$y = x^2 + 5$$ --> $$ \frac{dy}{dx} = 2x $$ (因為常數的導函數是 0)
- $$y = x^2 - 100$$ --> $$ \frac{dy}{dx} = 2x $$
它們的導函數都一樣！這表示當我們反推回去時，我們不知道原始常數是什麼。它可能是 5、-100 或任何其他數字。
為了這個問題，我們總是在答案中加上一個「積分常數」，我們寫作「+ C」。這個「C」代表所有可能存在的常數。
所以，$$2x$$ 的不定積分實際上是 $$x^2 + C$$。
符號時間！
這是積分的寫法：
$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$
- $$ \int $$ : 這是積分符號。它看起來像一個拉長的「S」形。
- $$ f(x) $$ : 這是你正在積分的函數，稱為被積函數。
- $$ dx $$ : 這告訴我們正在「對 x 積分」。這是符號中非常重要的一部分，千祈唔好唔記得！
- $$ F(x) + C $$ : 這是結果，$$f(x)$$ 的不定積分。
重點提要
不定積分是微分的逆運算。當我們積分時，我們找到一「族」函數，所以我們必須記得永遠加上積分常數，+ C。
你的積分工具箱：基本法則與公式
理解基本性質與公式 (課程大綱 7.2, 7.3)
就像微分一樣，你不用每次都從頭摸索。這裡有一些必備法則，它們將會是你在這個課題上的最佳拍檔。
法則一：冪次法則 (積分的超級巨星)
這是你最常用到的法則。它是微分冪次法則的逆運算。
公式： $$ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (\text{當 } n \neq -1 \text{ 時}) $$
簡單步驟：
- 將冪次 (n) 加 1。
- 除以新的冪次 (n+1)。
- 加上 C！(千祈唔好唔記得！)
例子一： 求 $$ \int x^4 \,dx $$
解答： 冪次是 4。新的冪次是 4+1 = 5。除以 5。
$$ \int x^4 \,dx = \frac{x^5}{5} + C $$
例子二 (棘手冪次)： 求 $$ \int \sqrt{x} \,dx $$
解答： 首先，把根號改寫成冪次形式！ $$ \sqrt{x} = x^{1/2} $$。
新的冪次是 $$ \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} $$。除以 $$ \frac{3}{2} $$（這等同於乘以 $$ \frac{2}{3} $$）。
$$ \int x^{1/2} \,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C $$
法則二：常數法則
公式： $$ \int k \,dx = kx + C \quad (\text{當中 k 為常數}) $$
例子： $$ \int 8 \,dx = 8x + C $$
法則三：特殊情況 (當 n = -1 時)
如果我們嘗試在 $$ \int x^{-1} \,dx $$（也就是 $$ \int \frac{1}{x} \,dx $$）上應用冪次法則，會發生什麼？我們會得到 $$ \frac{x^0}{0} $$，而我們不能除以零！這種情況有它自己的特殊法則。
公式： $$ \int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C $$
你知道嗎？ 我們使用絕對值符號 $$|x|$$ 是因為對數函數只為正數定義，但原始函數 $$1/x$$ 對負數也有效。
法則四：指數法則 (最簡單的一個！)
還記得 $$e^x$$ 是它本身的導函數嗎？那麼，它也幾乎是它本身的積分！
公式： $$ \int e^x \,dx = e^x + C $$
綜合運用：積分的性質
如果我們有更複雜的函數怎麼辦？我們可以結合這些法則！
1. 常數倍法則： 你可以把常數乘數從積分符號中提出來。
$$ \int k \cdot f(x) \,dx = k \int f(x) \,dx $$
例子： $$ \int 5x^2 \,dx = 5 \int x^2 \,dx = 5 \left( \frac{x^3}{3} \right) + C = \frac{5x^3}{3} + C $$
2. 和／差法則： 你可以逐項積分一個函數。
$$ \int (f(x) \pm g(x)) \,dx = \int f(x) \,dx \pm \int g(x) \,dx $$
例子： 求 $$ \int (6x^2 - e^x + \frac{3}{x}) \,dx $$
解答： 分別對每一部分積分。
$$ = \int 6x^2 \,dx - \int e^x \,dx + \int \frac{3}{x} \,dx $$
$$ = 6 \left( \frac{x^3}{3} \right) - (e^x) + 3 \left( \ln|x| \right) + C $$
$$ = 2x^3 - e^x + 3\ln|x| + C $$
注意：我們只需在最後寫一個「+ C」來代表所有常數的總和。
重點提要
熟練掌握這四個基本公式（冪次法則、常數、1/x、e^x）。運用這些性質將複雜的表達式拆解成更小、更容易處理的部分，然後逐項積分。
進階：換元積分法
使用換元積分法 (課程大綱 7.4)
別擔心，這聽起來比實際要難！它基本上是鏈式法則的逆運算。當一個函數「嵌套」在另一個函數內部時，我們就會用到它。
比喻： 想像你有一句很複雜的句子。你可能會用一個簡單的詞（例如「它」）替換一個冗長、棘手的短語，以便理解主要結構，然後之後再把短語替換回來。這正是我們在這裡所做的事情！
分步過程：
- 選擇 'u'： 尋找一個「內部函數」。令 u 等於這部分。選擇 'u' 的好方法通常是括號內的表達式或分母。
- 找出 'du'： 對你的 'u' 關於 x 微分（找出 $$ \frac{du}{dx} $$），然後重新排列方程式以解出 $$dx$$。
- 代入： 將積分中的 'u' 部分和 'dx' 部分都替換掉。如果你做對了，所有 'x' 都應該消失，只剩下一個只含有 'u' 的更簡單的積分。
- 積分： 對新的、簡單的積分關於 'u' 求解。
- 替換回去： 將 'u' 替換回原始的 'x' 表達式，得到你的最終答案。別忘了 + C！
已解例子：
求 $$ \int 2x(x^2 + 5)^3 \,dx $$
步驟一：選擇 'u'。 「內部函數」明顯是 $$x^2 + 5$$。
設 $$ u = x^2 + 5 $$
步驟二：找出 'du'。 對 'u' 微分。
$$ \frac{du}{dx} = 2x $$
重新排列以獲得 $$dx$$ 的替代：$$ du = 2x \,dx $$ 這表示 $$ dx = \frac{du}{2x} $$
步驟三：代入。 將 $$x^2+5$$ 替換為 $$u$$，將 $$dx$$ 替換為 $$\frac{du}{2x}$$。
$$ \int 2x \cdot (u)^3 \cdot \frac{du}{2x} $$
看！ $$2x$$ 項抵消了。這表示你選對了 'u'！我們剩下：
$$ \int u^3 \,du $$
步驟四：積分。 現在只是一個簡單的冪次法則問題了。
$$ \int u^3 \,du = \frac{u^4}{4} + C $$
步驟五：替換回去。 將 'u' 替換為 $$x^2 + 5$$。
最終答案： $$ \frac{(x^2 + 5)^4}{4} + C $$
避免常見錯誤
- 忘記將 'u' 替換回 'x'。你的最終答案應該是原始變數的形式！
- 混淆 'u' 和 'du'。保持你的替換有條理。
- 忘記在結尾加上「+ C」。這是一個容易失分的地方！
重點提要
換元法把一個看似可怕的積分變成簡單的積分。選擇 'u'（內部部分），找出 'du'，代入，積分，然後替換回去。 練習能幫助你快速找到正確的 'u'！
學以致用：不定積分的應用
應用不定積分解題 (課程大綱 7.5)
這就是我們回答「我什麼時候會用到這個？」這個問題的地方。主要應用是當你已知一個函數的變化率（它的導函數）和一個特定值（一個初始條件或曲線上的一點）時，找出這個函數。
從曲線的梯度找出曲線的方程
請記住，曲線的梯度（斜率）是由其導函數 $$ \frac{dy}{dx} $$ 給出的。如果你已知梯度函數和曲線經過的一點，你就可以找出曲線的精確方程。
目標： 找出 'C' 的特定值。
例子： 一條曲線的梯度函數由 $$ \frac{dy}{dx} = 4x + 3 $$ 給出。如果曲線經過點 $$(2, 12)$$，求其方程。
步驟一：積分以找出一般方程。
$$ y = \int (4x + 3) \,dx $$
$$ y = 4\left(\frac{x^2}{2}\right) + 3x + C $$
$$ y = 2x^2 + 3x + C $$
這是曲線的「族群」。我們需要找出經過 (2, 12) 的那條特定曲線。
步驟二：使用給定點找出 C。
將 $$x=2$$ 和 $$y=12$$ 代入方程。
$$ 12 = 2(2)^2 + 3(2) + C $$
$$ 12 = 2(4) + 6 + C $$
$$ 12 = 8 + 6 + C $$
$$ 12 = 14 + C $$
$$ C = -2 $$
步驟三：寫出最終方程。
既然我們知道 C，就可以寫出特定方程。
答案： $$ y = 2x^2 + 3x - 2 $$
現實世界例子：運動
在物理學中，如果你有加速度函數 $$a(t)$$，你可以積分它以得到速度函數 $$v(t)$$。如果你積分速度函數 $$v(t)$$，你會得到位移函數 $$s(t)$$。
$$ v(t) = \int a(t) \,dt \quad \text{和} \quad s(t) = \int v(t) \,dt $$
重點提要
積分使我們能夠從「變化率」回到「總量」。利用給定資訊（例如一個點或初始值）來解出常數「C」，並找出一個特定解。