BAFS溫習筆記：貨幣時間價值
哈囉各位同學！歡迎來到財務學中最重要嘅概念之一：貨幣時間價值 (TVM)。聽起來很複雜？不用擔心！它的核心概念超級簡單：你今日擁有的錢，會比未來相同數額的錢更有價值。
為什麼會這樣呢？因為你今日擁有的錢，可以用來賺更多的錢！你可以將它存入銀行賺取利息，或者拿去投資。這個章節會教你如何比較不同時點的錢的價值，這是個人和商業作出精明財務決策的關鍵技巧。
一起來揭開錢如何隨著時間增值的奧秘吧！
核心概念：今日的一元，勝過明日的一元
想像你朋友給你一個選擇：今日收$100，還是一年後收$100？你會怎麼選？大部分人當然是選今日收$100啦！這就是貨幣時間價值的核心。
原因如下：
- 賺取利息的機會： 你今日可以將$100存入銀行，等它增值。如果銀行提供2%利息，一年後你就會有$102。你今日的$100有潛力在將來變成多於$100。
- 通脹： 商品和服務的價格通常會隨著時間上升 (這就是通脹)。你今日有的$100，可以買到比一年後同樣的$100更多的東西。
這樣想吧：今日的錢就好像一粒種子。你可以將它種下去 (投資)，隨著時間，它就會生長成一棵更大的樹 (更多的錢！)。
重點提示
錢之所以有「時間價值」，就是因為它有賺取利息的潛力。所以我們不可以直接比較不同時期的錢的價值。
未來值 (FV) 和複式計算的魔力
未來值 (FV) 是指一筆錢在未來某個特定日期的價值，假設它會賺取利息。簡單來說，就是計算一下你的錢將來會增長到多少。
什麼是複式計算？
複式計算 是指你不但賺取原本的本金 (principal) 的利息，還會賺取你已經賺到的利息。它就好像一個雪球從山上滾下來一樣—越滾越大，越滾越快！據說愛因斯坦都稱複式計算為「世界第八大奇蹟」。
例子：假設你將$1,000存入一個每年支付5%利息的銀行戶口。
- 第一年後： 你賺取 $1,000 x 5% = $50 利息。你的新餘額是$1,050。
- 第二年後： 你現在會在$1,050上面賺取利息！所以你賺取 $1,050 x 5% = $52.50 利息。你的新餘額是$1,102.50。留意你在第二年賺取了更多利息！
- 第三年後： 你會在$1,102.50上面賺取利息。所以你賺取 $1,102.50 x 5% = $55.13 利息。你的新餘額是$1,157.63。
你在之前的利息上賺取的額外利息，就是複式計算的威力！
未來值公式
與其逐年計算，我們可以用一個簡單的公式。就算它一開始看起來有些難，也不用擔心，我們會逐一為你講解！
$$FV = PV \times (1 + r)^n$$其中：
- FV = 未來值 (你將來會有的金額)
- PV = 現值 (你今日開始投資的金額)
- r = 每期利率 (通常是每年)
- n = 期數 (通常是年數)
分步計算例子
問題：你今日投資$5,000入一個每年支付4%利息的戶口。三年後你的投資的未來值會是多少？
- 找出變數：
PV = $5,000
r = 4% 或 0.04
n = 3 年 - 寫下公式：
$$FV = PV \times (1 + r)^n$$ - 將數值代入公式：
$$FV = \$5,000 \times (1 + 0.04)^3$$ $$FV = \$5,000 \times (1.04)^3$$ $$FV = \$5,000 \times 1.124864$$ - 計算最終答案：
$$FV = \$5,624.32$$
所以，你的$5,000在三年後就會增長到$5,624.32！
重點提示
複式計算 是將錢的價值隨時間向前推進，以找出它的未來值 (FV)的過程。它的精髓就是賺取「利上加利」。
現值 (PV) 和折現的藝術
現值 (PV) 是指未來一筆錢今日的價值。它和未來值完全相反。我們不是問「我的錢會增長到多少？」，而是問「我今日需要多少錢才可以將來達到某個金額？」。
什麼是折現？
折現 是找出現值的過程。它就好像將錢的增長「倒帶」一樣。如果複式計算是一個雪球向前滾落山，那麼折現就是計算這個雪球在山頂最初有多小。
這個對你了解將來一筆錢的承諾現在實際值多少很有用。
現值公式
我們可以透過重新排列未來值公式來得到現值公式。它是同一個概念，只是從不同的角度去看。
$$PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}$$其中變數的意思都一樣：
- PV = 現值 (今日的價值)
- FV = 未來值 (你將來會收到的金額)
- r = 利率 (在這裡亦稱為「折現率」)
- n = 期數
分步計算例子
問題：你想三年後戶口有$10,000來去旅行。如果銀行提供每年5%的利率，你今日需要存入多少錢 (現值)？
- 找出變數：
FV = $10,000
r = 5% 或 0.05
n = 3 年 - 寫下公式：
$$PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}$$ - 將數值代入公式：
$$PV = \frac{\$10,000}{(1 + 0.05)^3}$$ $$PV = \frac{\$10,000}{(1.05)^3}$$ $$PV = \frac{\$10,000}{1.157625}$$ - 計算最終答案：
$$PV = \$8,638.38$$
這意味著你今日需要投資$8,638.38，才可以三年後擁有$10,000。看看？未來的$10,000今日只是值$8,638.38！
快速重溫
- 未來值 (FV)： 找出你今日擁有的錢在未來的價值。(將錢的價值在時間上向前推進)
- 現值 (PV)： 找出你將來會收到的錢在今日的價值。(將錢的價值在時間上向後倒推)
重點提示
折現 是將未來的錢帶回到現時，以找出它的現值 (PV)的過程。它可以幫助你了解未來現金流在今日的真實價值。
淨現值 (NPV) — 作出精明投資決策
既然你了解了現值和未來值，現在可以學一個強大的決策工具：淨現值 (NPV)。企業時常都用它來決定一個項目或投資值不值得做。
這個概念很簡單：你比較今日投資的成本和它將來會為你帶來的所有錢的價值。但要記住，我們不可以就這樣將未來的錢加在一起！我們首先要將所有未來的現金流入折現，找出它們的現值。
淨現值公式及決策準則
淨現值 (NPV) = (所有未來現金流入的現值總和) - 初始投資
當你計算出淨現值後，就可以用這個簡單的規則：
- 如果 淨現值是正數 (> 0)：接受這個項目。預計它會有盈利，並會增加價值。
- 如果 淨現值是負數 (< 0)：拒絕這個項目。預計它會虧錢。
- 如果 淨現值是零 (= 0)：你可視為無所謂。項目預計會賺取到所需的回報率，但不會更多。
淨現值分步計算
問題：一間公司正考慮一個今日成本為$2,000的項目。這個項目預計會在第一年產生$900的現金流入，第二年$800，第三年$700。公司要求的會報率 (折現率) 是6%。公司應該接受這個項目嗎？
這個看起來好像很多東西一樣，但其實只是重複你已經懂的現值計算。讓我們一步一步來做。
- 找出每個未來現金流入的現值：
第一年現金流的現值：$$PV = \frac{\$900}{(1.06)^1} = \$849.06$$ 第二年現金流的現值：$$PV = \frac{\$800}{(1.06)^2} = \$711.99$$ 第三年現金流的現值：$$PV = \frac{\$700}{(1.06)^3} = \$587.72$$ - 將所有現值加總：
現金流入總現值 = $849.06 + $711.99 + $587.72 = $2,148.77 - 減去初始投資：
淨現值 = 現金流入總現值 - 初始投資
淨現值 = $2,148.77 - $2,000
淨現值 = $148.77 - 根據淨現值規則做出決策：
淨現值是$148.77，是正數。因此，公司應該接受這個項目。
常見錯誤提醒！
一個常見的錯誤是忘記將未來的現金流折現。記住，你不可以就這樣將$900 + $800 + $700加起來然後和成本比較。你必須先找出每筆流入的現值！
重點提示
淨現值 是一個決策工具。它會告訴你一項投資以今日的價值來計算，會為你帶來多少增值，幫助你揀選有利可圖的項目。
名義回報率 vs. 實際回報率
當你見到廣告上的利率時，它是不是就是全部的真相呢？不是那麼簡單！這個時候，我們就要分清楚兩種不同的利率了。
名義回報率
名義回報率 是指公布或廣告上列出的年利率。它是一個簡單的利率，並沒有計入一年內複式計算的強大影響。它只是一個「標題」數字。
例子：銀行廣告宣傳「每年12%利息」。這個12%就是名義回報率。
實際回報率
實際回報率 (亦稱為實際年利率或 EAR) 是你實際賺取的真正年利率。它考慮了一年內複式計算多次 (例如，每半年、每季或每月) 所產生的影響。
為什麼會有分別？
如果利息每年複式計算的次數多於一次，你會更早開始賺取「利上加利」。這會令你的錢增長得更快，所以你實際賺取的*實際*利率會高於*名義*利率。
讓我們用一個簡單的例子來說明。你手上有$1,000，而名義回報率是每年12%。
- 情況一：每年複式計算 (一年一次)
利息 = $1,000 x 12% = $120。
你的總額是$1,120。實際回報率是12%。 - 情況二：每半年複式計算 (一年兩次)
每半年的利率是 12% / 2 = 6%。
六個月後：$1,000 x 6% = $60 利息。你的餘額是$1,060。
再過六個月後：$1,060 x 6% = $63.60 利息。你的最終餘額是$1,123.60。
總共賺取的利息是$123.60。所以實際回報率是12.36%！
如你所見，雖然兩種情況下的名義回報率都是12%，但當利息更頻繁地複式計算時，你賺到更多錢。這表示實際回報率更高。
快速重溫
- 名義回報率： 廣告上列出的簡單年利率。
- 實際回報率： 考慮複式計算後，你實際賺取的真正年利率。
- 如果利息每年複式計算超過一次，那麼實際回報率將永遠高於名義回報率。
重點提示
實際回報率 比名義回報率 更能準確反映你投資的回報，因為它計入了複式計算的影響。它令你可以真正比較不同的投資選擇。