歡迎進入「全等」和「相似」的世界！
各位同學好！準備好探索幾何學中最精彩的部分之一了嗎？在這個章節，我們會學習全等和相似。你可以這樣想：全等的圖形就像一模一樣的雙胞胎，而相似的圖形就像是一個縮小模型和真實物件。
為什麼這些概念這麼重要？因為它們無所不在！建築師會用相似性來畫大型建築物的藍圖，藝術家會用它來創造逼真的透視效果，甚至你手機都會用這些概念來調整照片大小。所以，讓我們一同深入幾何世界，做個幾何神探吧！
第一部分：全等——一模一樣的雙胞胎
「全等」是什麼意思？
簡單來說，全等圖形就是指形狀和大小完全一樣的圖形。如果你可以將其中一個剪出來，然後完美地疊在另一個上面，它們就會完全重疊。它們是完美的複製！
全等的符號是 $$ \cong $$。所以，如果三角形ABC全等於三角形XYZ，我們會這樣寫：$$ \triangle ABC \cong \triangle XYZ $$。
當兩個三角形全等時，它們的意思是：
- 所有對應角都相等。(例如：$$ \angle A = \angle X $$、$$ \angle B = \angle Y $$、$$ \angle C = \angle Z $$)
- 所有對應邊都長度相等。(例如：$$ AB = XY $$、$$ BC = YZ $$、$$ AC = XZ $$)
快速溫習小提示
全等 = 相同形狀 + 相同大小
想像一下：影印機設定為100%大小的影印本。
符號： $$ \cong $$
全等三角形的條件
我們需要檢查齊三個邊和三個角，才可以知道兩個三角形是不是全等嗎？好消息是——不需要！我們有一些聰明的捷徑。它們就是全等的條件。你總共需要認識五個條件。一開始看到這麼多不用擔心，我們會逐一詳細講解。
1. SSS (邊-邊-邊)
如果一個三角形的三條邊分別等於另一個三角形的三條對應邊，那麼這兩個三角形就是全等。
例子：想像三角形1的邊長是3cm、4cm和5cm。如果三角形2的邊長都是3cm、4cm和5cm，那麼它們就是全等的了！(原因：SSS)
2. SAS (邊-角-邊)
如果一個三角形的兩條邊和它們的夾角（即是那兩條邊之間的角）分別等於另一個三角形的對應兩條邊和夾角，那麼這兩個三角形就是全等。
重要提示！那個角必須在你用的兩條邊之間。就像被兩條邊「夾住」一樣。
例子：三角形1有一條5cm的邊，然後一個30°的角，再一條7cm的邊。如果三角形2都有同樣的模式（5cm邊、30°夾角、7cm邊），它們就是全等。(原因：SAS)
常見錯誤警示！請確保那個角是兩條邊之間的夾角。如果不是，你就不能使用SAS了！
3. ASA (角-邊-角)
如果一個三角形的兩個角和它們的夾邊（即是那兩個角之間的邊）分別等於另一個三角形的對應兩個角和夾邊，那麼這兩個三角形就是全等。
例子：三角形1有一個40°的角，然後一條8cm的夾邊，再一個60°的角。如果三角形2都符合這個模式（40°角、8cm夾邊、60°角），它們就是全等。(原因：ASA)
4. AAS (角-角-邊)
如果一個三角形的兩個角和它們的非夾邊分別等於另一個三角形的對應兩個角和非夾邊，那麼這兩個三角形就是全等。
例子：三角形1有一個50°的角，然後一個70°的角，而對著70°角的邊是6cm。如果三角形2都符合這個模式，它們就是全等。(原因：AAS)
記憶小提示：對於ASA和AAS，你只需要任何兩個角和任何一條對應邊相等就可以了！
5. RHS (直角-斜邊-邊)
這是一個特別的條件，只適用於直角三角形。如果一個直角三角形的斜邊（最長的邊，對著直角的邊）和另一條邊，分別等於另一個直角三角形的斜邊和對應邊，那麼它們就是全等。
- R 代表直角（兩個三角形都必須有一個90°角）。
- H 代表斜邊（兩條斜邊必須相等）。
- S 代表邊（另一對對應邊必須相等）。
例子：兩個直角三角形都有一條10cm的斜邊和另一條6cm的邊。它們一定是全等。(原因：RHS)
關於等腰三角形的小提示
全等的概念可以幫助我們理解其他圖形，例如等腰三角形（兩條邊相等的三角形）。
- 性質：如果一個三角形是等腰三角形，那麼對著那兩條相等邊的角（即是底角）都會相等。(原因：等腰三角形底角)
- 條件：如果一個三角形有兩個相等的角，那麼對著那兩個角的邊就會相等，而這個三角形就是等腰三角形。(原因：等角對邊)
你知道嗎？我們其實可以用SAS全等條件來證明等腰三角形的性質！數學世界真是環環相扣。
全等的重點提示
全等三角形是一模一樣的複製。要證明它們全等，你不需要六項資料（三條邊、三個角）都用上。你只需要符合五個條件其中一個就可以了：SSS、SAS、ASA、AAS、或者RHS（RHS只適用於直角三角形）。
第二部分：相似——比例模型
「相似」是什麼意思？
相似圖形是指形狀相同但大小可以不同的圖形。想像一下你手機裡的照片。當你放大或縮小的時候，照片會變大或變小，但照片裡所有東西的形狀都保持不變。這就是相似性！
相似的符號是 $$ \sim $$。所以，如果三角形ABC相似於三角形XYZ，我們會這樣寫：$$ \triangle ABC \sim \triangle XYZ $$。
要兩個三角形相似，有兩點必須符合：
- 所有對應角都相等。(這讓它們形狀相同。)
- 所有對應邊都是相同比例（即是它們成比例）。
例子：如果 $$ \triangle ABC \sim \triangle XYZ $$，也就是說 $$ \angle A = \angle X $$、$$ \angle B = \angle Y $$、$$ \angle C = \angle Z $$，而且邊長成比例：
$$ \frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ} $$快速溫習小提示
相似 = 相同形狀，大小不同也可以！
想像一下：調整照片大小，或者看地圖。
符號： $$ \sim $$
相似三角形的條件
和全等一樣，我們也有一些捷徑來證明三角形是相似。主要有三個。
1. AA (或 AAA) (角-角-角)
如果一個三角形的兩個角分別等於另一個三角形的兩個對應角，那麼這兩個三角形就是相似。我們只需要檢查兩個角就可以了，因為如果兩個角都一樣，第三個角就一定會一樣（因為三角形的內角和是180°）！
例子：三角形1有50°和80°的角。三角形2都有50°和80°的角。它們一定是相似的了！(原因：AA)
2. 3邊成比例 (或 相似三角形SSS)
如果所有三對對應邊的比例都相等，那麼這兩個三角形就是相似。
如何檢查：
步驟1：將兩個三角形的最短邊、中等長度邊和最長邊分別配對。
步驟2：將較大三角形每條邊的長度除以它在較小三角形的對應邊。
步驟3：如果你得到相同的值（相同的比例）對於所有三對邊，那麼它們就是相似的了！
例子：三角形1的邊長是3、4、5。三角形2的邊長是6、8、10。
讓我們檢查一下比例：$$ \frac{6}{3} = 2 $$、$$ \frac{8}{4} = 2 $$、$$ \frac{10}{5} = 2 $$。因為所有比例都一樣（都是2），所以這兩個三角形是相似。(原因：3邊成比例)
3. 兩邊成比例及夾角相等 (或 相似三角形SAS)
如果兩對對應邊的比例相等，而且它們的夾角也相等，那麼這兩個三角形就是相似。
例子：三角形1有兩條邊長是4和6，它們之間的夾角是30°。三角形2有兩條邊長是8和12，它們之間的夾角都是30°。夾角相等（都是30°）。讓我們檢查一下邊的比例：$$ \frac{8}{4} = 2 $$ 和 $$ \frac{12}{6} = 2 $$。比例相等，所以這兩個三角形是相似。(原因：兩邊成比例及夾角相等)
相似的重點提示
相似三角形形狀相同但大小可以不同。它們的角相等，而邊長成比例。證明相似的三個捷徑是：AA、3邊成比例和兩邊成比例及夾角相等。
第三部分：相似圖形中的比例 (長度、面積和體積)
這是相似性中一個超級實用的一部分，它不只幫助我們比較長度，還可以比較相似的二維和三維圖形的面積和體積！
假設我們有兩個相似圖形，它們對應長度（例如邊長、高或半徑）的比例是 $$ k $$。
$$ \text{長度比} = \frac{\text{長度}_1}{\text{長度}_2} = k $$那麼它們的面積比和體積比就有一個特殊的關係：
- 它們的面積比會是 $$ k^2 $$。
- 它們的體積比（適用於三維圖形）會是 $$ k^3 $$。
讓我們看看如何實際應用！
想像兩個相似的立方體。立方體A的邊長是2 cm。立方體B的邊長是6 cm。
步驟1：找出長度比 (k)。
邊長比 = $$ \frac{\text{立方體B的邊長}}{\text{立方體A的邊長}} = \frac{6}{2} = 3 $$。所以，$$ k=3 $$。
步驟2：找出它們的表面積比。
面積比 = $$ k^2 = 3^2 = 9 $$。
這意味著，立方體B的表面積比立方體A大9倍！
步驟3：找出它們的體積比。
體積比 = $$ k^3 = 3^3 = 27 $$。
這意味著，立方體B的體積比立方體A大27倍！哇！
快速溫習小提示
如果長度比 = $$ k $$，那麼：
- 面積比 = $$ k^2 $$
- 體積比 = $$ k^3 $$
這是一個強大的捷徑，可以幫助你解決問題而不需要計算實際的面積或體積！
你知道嗎？這就是為什麼一個小披薩和一個大披薩的價錢會有這麼大差別的原因。如果大披薩的直徑是小披薩的兩倍（長度比k=2），那麼它的面積就應該是四倍 ($$k^2=4$$)！