歡迎來到軌道運動世界！
你有沒有想過衛星是怎樣停留在天空的？行星又如何繞著太陽運行？太空中的「無重狀態」究竟是甚麼一回事？這一章將會為你一一解答這些疑問！我們將會深入探討宇宙中最基本的力：萬有引力。萬有引力看似複雜，但不用擔心！我們會將它拆解成簡單易明的小部分。學完這一章，你將能像物理學家一樣，用全新的角度去看宇宙。
1. 宇宙的「膠水」：牛頓萬有引力定律
試想像宇宙中有任何兩個物體——無論是行星、恆星、你的教科書，還是你本人！艾薩克·牛頓爵士發現，這兩個物體之間總是存在一種互相吸引的力，我們稱之為萬有引力。它們的質量越大、距離越近，這種吸引力就越強。這個驚人的見解，被濃縮在物理學中最重要的方程之一。
重要公式
牛頓萬有引力定律指出，兩個質量（M 和 m）之間的萬有引力（F）可由以下公式表示：
$$ F = \frac{GMm}{r^2} $$讓我們逐一拆解這個公式吧，它比你想像中簡單！
- F 是萬有引力，單位是牛頓（N）。它是兩個物體之間互相吸引的力。
- G 是萬有引力常數。它是一個用於單位換算的常數。其數值非常小（約 6.67 x 10⁻¹¹ N m² kg⁻²），這說明除非涉及行星等巨大天體，否則萬有引力其實是一種非常微弱的力。
- M 和 m 是兩個物體的質量，單位是公斤（kg）。
- r 是兩個物體中心之間的距離，單位是米（m）。超級重要：測量時必須從一個物體的中心量度到另一個物體的中心！
平方反比定律
有留意到公式底部的 r² 嗎？這就是所謂的平方反比定律。簡單來說，當兩個物體之間的距離（r）增加一倍時，它們之間的萬有引力就會減弱四倍（因為 2² = 4）。
比喻：想想噴漆罐。你離牆壁越遠，油漆就會散佈得越開，顏色也越淡。萬有引力也以類似的方式作用；其影響力會隨著距離迅速擴散並減弱。
快速複習：地球上的萬有引力
你已經知道地球上重量的公式是：W = mg。這其實只是牛頓萬有引力定律的一個簡化版本！在地球表面上，你所受的萬有引力（你的重量）是：
$$ F = \frac{G M_{Earth} m_{you}}{R_{Earth}^2} $$如果你比較 W = mg 和這個公式，你會發現重力加速度 g 就是：
$$ g = \frac{G M_{Earth}}{R_{Earth}^2} $$重點歸納
牛頓萬有引力定律描述了任意兩個質量之間的吸引力。這種力正是月球繞行星運行、行星繞恆星運行的原因。它是將宇宙凝聚在一起的「膠水」！
2. 宇宙之舞的規則：軌道與克卜勒定律
為什麼衛星不會直接掉回地球？這是因為它們以非常、非常快的速度橫向移動。它們由於萬有引力而不斷地向地球墜落，但由於它們的橫向速度非常大，所以它們持續地「錯過」了地球。這種向前運動和因萬有引力而「墜落」之間的平衡，創造了一條穩定的路徑，稱為軌道。
萬有引力作為向心力
一個物體要在圓周上運動，它需要一個指向圓心的力。這就是所謂的向心力。對於在圓形軌道上運行的衛星、月球和行星來說，萬有引力提供了所需的向心力。這是所有後續概念的關鍵！
萬有引力 = 向心力
$$ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} $$克卜勒第三定律：宇宙時鐘
約翰內斯·克卜勒發現了軌道所需時間（週期 T）與軌道大小（半徑 r）之間的一個美妙關係。我們可以從牛頓定律直接推導出來！
逐步推導（適用於圓形軌道）
別擔心，一步一步跟著做就好。
從我們的核心概念開始：萬有引力 = 向心力
$$ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} $$我們可以從兩邊消去 'm'，並簡化 'r'：
$$ \frac{GM}{r} = v^2 $$現在，請記住圓周運動的速度（v）是周長（2πr）除以所需時間（週期 T）。所以，v = 2πr / T。我們將其代入公式。
$$ \frac{GM}{r} = \left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} $$最後，讓我們重新排列方程，將 T² 放在一邊，r³ 放在另一邊。
$$ T^2 GM = 4\pi^2 r^3 $$ $$ T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{GM}\right) r^3 $$
看看這個最終的方程！括號裡的部分對於任何繞著相同中心質量 M 運行的物體來說，都只是一個常數。這就給出了克卜勒第三定律的圓形軌道版本：
軌道週期的平方（T²）與軌道半徑的立方（r³）成正比。
$$ T^2 \propto r^3 $$那麼橢圓形軌道呢？
現實中大多數軌道都不是完美的圓形，而是橢圓形（被壓扁的圓形）。這個定律非常相似，但我們不再使用半徑（r），而是使用半長軸（a），它就像橢圓的平均半徑。
對於橢圓形軌道，克卜勒第三定律表述為：
$$ T^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{GM} $$就香港中學文憑考試（HKDSE）而言，你需要能夠寫出這個公式並運用它，但不需要推導它。
你知道嗎？
克卜勒實際上提出了三個行星運動定律！第一個定律指出行星以橢圓軌道運行，第二個定律描述了它們的速度如何變化。我們剛剛探討的第三個定律，是你將用於計算的那個。它在計算行星或恆星質量方面非常強大！
重點歸納
對於任何處於穩定軌道的物體，萬有引力提供了所需的向心力。這導出了克卜勒第三定律（T² ∝ r³），這是一個簡單的規則，將軌道的大小與完成一圈所需的時間聯繫起來。
3. 太空中的「漂浮」：失重的真相
我們都看過太空人在國際太空站（ISS）內漂浮的影片。我們很容易會以為太空站上沒有萬有引力，但這其實是物理學中最大的誤解之一！
常見錯誤，請避免！
國際太空站上有萬有引力嗎？有！國際太空站的軌道高度約為 400 公里。地球半徑約為 6400 公里。這意味著國際太空站距離地心，只比我們稍遠一點。那裡的萬有引力仍然約為地表萬有引力的 90%。那為什麼他們會漂浮呢？
視重狀態
我們感到有重量，其實是感受到一個表面（例如地板或椅子）向上推著你。在軌道上的太空船中，太空人和太空船都處於不斷向地球自由下墜的狀態。
比喻：想像你身處一部升降機中，而纜線突然斷裂。當升降機艙下墜時，你也會跟著它一起下墜。由於沒有地板向上推著你的腳，你身處下墜中的升降機內會感覺完全失重。
這正是軌道上發生的情況。太空船就是那個「升降機艙」，而太空人就是「你」。兩者都持續地一起繞著地球下墜。由於太空人以與周圍環境相同的速率下墜，他們不會壓向任何表面，因此感覺失重。這就是所謂的視重狀態。
這之所以發生，是因為正如伽利略所發現的，重力加速度與質量無關。一艘很重的太空船和一個輕得多的太空人以完全相同的速率下墜，使他們彼此之間呈現漂浮狀態。
重點歸納
軌道中的失重並非由於缺乏萬有引力。它是由於處於持續的自由下墜狀態而引起的視重狀態，即太空人及其太空船以相同速率一起下墜。
4. 軌道的能量
要將火箭發射到太空並保持衛星在軌道上運行，都需要能量。讓我們看看對軌道運動至關重要的兩種能量：勢能和動能。
萬有引力勢能（U）
你以前用過勢能公式 P.E. = mgh。這個公式在地球表面附近，當 'g' 恆定時是沒問題的。但在太空中，'g' 會隨距離而變化，所以我們需要一個更普遍的萬有引力勢能（U）公式：
$$ U = -\frac{GMm}{r} $$為什麼它是負數？ 這是一個有點難懂但很重要的概念！
- 物理學家將勢能的零點定義在無限遠處（r = ∞）。在無限遠處，物體完全擺脫了萬有引力的束縛。
- 要將物體從無限遠處移近行星，萬有引力會將其拉入。萬有引力場對物體做功，所以物體會*失去*勢能。
- 當你從零能量失去能量時，結果就是一個負數。
比喻：把它想像成置身於一個「重力勢阱」中。你處於一個能量坑的底部。要離開（到達無限遠處），你需要被給予能量才能爬回到零水平。
總機械能
一個環繞軌道運行的衛星的總能量是其動能和勢能的總和。這種總能量在整個軌道上保持不變。
總能量 = 動能 + 勢能
$$ E_{total} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} $$對於一個穩定的軌道（圓形或橢圓形），總能量總是負數。這意味著物體被「困」在重力勢阱中，沒有足夠的能量逃逸出去。
逃逸速度
如果我們想發射探測器到另一顆行星，完全擺脫地球的萬有引力呢？我們需要給予它足夠的動能來克服負的勢能。做到這一點所需的最小速度，就是逃逸速度（v_esc）。
要逃逸，探測器必須擁有剛好足夠的能量到達無限遠處（U = 0），且沒有剩餘速度（K.E. = 0）。這意味著它的總能量必須恰好為零。
逐步推導
將物體在行星表面的總能量，設為等於在無限遠處的總能量（該處總能量為零）。
E_總 (在表面) = E_總 (在無限遠處)
$$ \frac{1}{2}mv_{esc}^2 - \frac{GMm}{r} = 0 $$現在，解出 v_esc。首先，將勢能項移到等式另一邊。
$$ \frac{1}{2}mv_{esc}^2 = \frac{GMm}{r} $$從兩邊消去 'm'，並乘以 2。
$$ v_{esc}^2 = \frac{2GM}{r} $$取平方根，即可得出最終公式！
$$ v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} $$
這就是物體距離質量為 'M' 的行星/恆星中心 'r' 處，所需能永遠擺脫其萬有引力束縛的最小速度。
重點歸納
一個環繞軌道運行的物體既有動能（來自運動），也有負的萬有引力勢能（來自處於重力勢阱中）。它的總能量是恆定的。要永久離開軌道，它必須被賦予足夠的速度以達到逃逸速度，這會使它的總能量變為零。