指數函數與對數函數：終極溫習指南！
哈囉各位同學！歡迎來到指數函數同對數函數嘅奇妙世界。聽落個名好似有啲嚇人？唔使驚！學完呢份指南，你就會發現佢哋其實係一體兩面，而且喺理解地震震級、儲蓄戶口存款增長等方面都超有用㗎！
喺呢一章，我哋會幫你將對冪（指數）嘅理解提升到更高層次，然後就會認識佢哋嘅「逆函數」——對數。快啲開始啦！
第一部分：指數函數 —— 冪的威力
你之前都見過冪啦，好似 $$3^2 = 9$$。指數函數就係將變數放喺冪嘅位置，例如 $$y = 2^x$$。就係因為咁，啲嘢先會增長（或衰減）得超快㗎！
快速重溫：你已知的概念
記得初中學過呢啲關鍵法則嗎？佢哋係之後所有內容嘅基礎嚟㗎！
- 正指數： $$a^n = a \times a \times ... \times a$$ (n個 'a' 相乘)
- 零指數： $$a^0 = 1$$ (任何非零 'a' 嘅情況下)
- 負指數： $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ (即係「將佢倒轉」！)
新技能解鎖：有理指數（分數冪！）
如果個冪係分數咁點算？睇落可能好怪，但其實比你想像中簡單。呢個全部都關乎開方㗎！
1. 「開方」冪：$$a^{\frac{1}{n}}$$
一個 $$ \frac{1}{n} $$ 嘅冪，意思就係n次方根。
你可以咁諗：將一個數開平方根，同將佢平方係相反嘅運算。所以，一個2嘅冪，可以用1/2嘅冪嚟抵消！
公式： $$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$
例子：
- $$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$$
- $$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$$
2. 「冪與開方」組合：$$a^{\frac{m}{n}}$$
呢個只係兩種概念嘅結合。底部嘅數字（n）係開方數，而頂部嘅數字（m）就係冪。你可以按任何次序嚟運算！
公式： $$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{(a^m)}$$
例子：讓我哋計算 $$27^{\frac{2}{3}}$$
- 方法一（先開方，後取冪）： $$ (\sqrt[3]{27})^2 = (3)^2 = 9 $$
- 方法二（先取冪，後開方）： $$ \sqrt[3]{(27^2)} = \sqrt[3]{729} = 9 $$
小貼士：通常都係先開方會比較容易，咁樣可以令數字保持細啲。
重要規則提提你！
喺你DSE課程中嘅有理指數，底數 'a' 必須係正實數 ($$a > 0$$)。呢啲定律對於負數底數唔係咁可靠，所以我哋會避免使用佢哋。
指數定律（佢哋依然適用！）
好消息係，你之前學過嘅所有指數定律，對於分數冪都完全適用。以下係一個快速重溫：
快速重溫：有理指數定律
設 p 同 q 為有理數，a 同 b 為正實數。
- 乘法定律： $$a^p \times a^q = a^{p+q}$$
例子： $$x^2 \times x^{\frac{1}{2}} = x^{2+\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$$ - 除法定律： $$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$$
例子： $$\frac{5^3}{5^{3.5}} = 5^{3-3.5} = 5^{-0.5} = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$$ - 冪的冪定律： $$(a^p)^q = a^{pq}$$
例子： $$(x^{\frac{1}{3}})^6 = x^{\frac{1}{3} \times 6} = x^2$$ - 積的冪定律： $$(ab)^p = a^p b^p$$
例子： $$(4x)^2 = 4^2 x^2 = 16x^2$$ - 商的冪定律： $$(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$$
例子： $$(\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3}$$
指數函數嘅圖像 ($$y=a^x$$)
指數函數嘅圖像訴說住一個關於快速變化嘅故事。佢主要有兩種情況。
情況一：增長 ($$a > 1$$)
例子：$$y=2^x$$
當 'x' 增加時，'y' 會增長得愈來愈快。呢個就叫做指數增長。試諗下細菌每小時數目翻倍嘅情況。
- 佢一定會經過點 (0, 1)，因為 $$a^0=1$$。
- 佢一定喺 x軸上方（y值恆為正數）。
- 佢喺右邊會變得非常陡峭，而喺左邊則會變得非常平坦（接近零）。
情況二：衰減 ($$0 < a < 1$$)
例子：$$y=(\frac{1}{2})^x$$
當 'x' 增加時，'y' 會愈來愈細，並趨近零。呢個就係指數衰減。試諗下放射性物質隨時間衰減放射性嘅情況。
- 佢亦都一定會經過點 (0, 1)。
- 佢亦都一定喺 x軸上方。
- 佢係增長圖像沿住 y軸嘅鏡像。
重點回顧：指數函數
- 分數冪代表開方：$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$。
- 所有舊嘅指數定律仍然適用。
- 底數 'a' 必須係正數 ($$a>0$$)。
- $$y=a^x$$ 嘅圖像一定經過 (0, 1) 並且永遠喺正數範圍。
第二部分：對數函數 —— 「係咩冪次？」嘅問題
好啦，轉個彎，講下另一個概念。如果我話你知 $$2^x = 8$$，你可以好輕易咁計到 $$x=3$$。對數（或者簡稱「log」）就係我哋用嚟正式問呢個問題嘅工具。
問題：「我要將底數提升到咩冪次，先會得到呢個數？」
答案：就係對數！
對數嘅定義
呢個係本章最重要嘅概念。佢係指數同對數之間嘅聯繫。
如果 $$y = a^x$$，咁我哋就可以寫成 $$x = \log_a y$$。
讓我哋逐一解釋：
- a 係底數。
- y 係我哋要取對數嘅數字（叫做真數）。
- x 就係答案，亦即係我哋一直喺度搵緊嘅冪次。
記憶小貼士：對數循環！
要將 $$ \log_a y = x $$ 轉換成指數形式，由底數 'a' 開始，繞圈到 'x'，然後以 'y' 結束。呢個就顯示出 $$ a^x = y $$。
例子：將 $$ \log_2 8 = 3 $$ 轉換成指數形式。
由底數 2 開始，繞到 3，再到 8。所以，$$2^3 = 8$$。啱晒！
重要條件提提你！
就好似指數咁，對數都有佢嘅數字限制規則：
- 底數 a 必須係正數同唔等於 1 ($$a > 0$$ 同 $$a \neq 1$$)。
- 真數 y 必須係正數 ($$y > 0$$)。你唔可以對零或者負數取對數！
對數定律
對數都有佢嘅定律，就好似指數定律嘅「鏡像」一樣。佢哋可以幫助我哋簡化表達式同解方程。
快速重溫：對數定律
對於 M, N > 0，a > 0 同 a ≠ 1：
- 積的對數定律： $$ \log_a (MN) = \log_a M + \log_a N $$
（積嘅對數等於各個數嘅對數之和） - 商的對數定律： $$ \log_a (\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N $$
（商嘅對數等於被除數嘅對數減去除數嘅對數） - 冪的對數定律： $$ \log_a (M^k) = k \log_a M $$
（對數入面嘅冪可以提出嚟作為乘數。呢條超有用㗎！）
同埋兩個嚟自定義嘅特殊結果：
- $$ \log_a 1 = 0 $$ (因為 $$ a^0 = 1 $$)
- $$ \log_a a = 1 $$ (因為 $$ a^1 = a $$)
切記避免嘅常見錯誤！
請，請你哋一定要記住：
$$ \log_a (M+N) $$ 並唔係 $$ \log_a M + \log_a N $$
$$ \log_a (M-N) $$ 並唔係 $$ \log_a M - \log_a N $$
呢啲定律只適用於對數入面嘅乘法同除法！
終極工具：換底公式
你嘅計數機有個「log」掣，但嗰個係底數 10 嘅對數 ($$\log_{10}$$)。如果需要搵 $$\log_2 7$$ 咁點算？你就要用換底公式啦！
公式： $$ \log_b N = \frac{\log_a N}{\log_a b} $$
簡單嚟講，想搵一個「奇怪」底數（例如底數 'b'）嘅對數，你可以用任何你鍾意嘅「常用」底數 'a'（例如你計數機上嘅底數 10！）嚟，將數字嘅對數除以底數嘅對數。
例子：用計數機搵 $$\log_2 7$$。
我哋想搵底數 2 嘅對數，但係我哋嘅計數機只得底數 10。所以我哋就要換底：
$$ \log_2 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2} = \frac{\log 7}{\log 2} $$
而家，喺你計數機上輸入：`log(7) ÷ log(2) =` 你就會得到大約 2.81。
對數函數嘅圖像 ($$y=\log_a x$$)
對數函數嘅圖像係指數函數圖像沿住直線 $$y=x$$ 嘅反射。
情況一：$$a > 1$$ (例如：$$y=\log_2 x$$)
- 佢一定會經過點 (1, 0)。
- 佢只會喺 'x' 係正數時存在（佢永遠唔會接觸或穿過 y軸）。
- 佢會增長，但比指數函數慢好多。
情況二：$$0 < a < 1$$ (例如：$$y=\log_{\frac{1}{2}} x$$)
- 佢亦都經過 (1, 0) 並且只會喺 $$x>0$$ 時存在。
- 佢係一個遞減函數。
重點回顧：對數函數
- 對數解答「係咩冪次？」嘅問題。
- 關鍵關係：$$ y=a^x \iff x=\log_a y $$。
- 記住三大定律：積的對數定律、商的對數定律同冪的對數定律。
- 使用換底公式嚟配合你嘅計數機運算。
- $$y=\log_a x$$ 嘅圖像一定經過 (1, 0) 並且只會喺 $$x>0$$ 時存在。
第三部分：融會貫通 —— 解方程
而家我哋會運用晒所有呢啲新技能嚟解方程。策略就係利用我哋學過嘅法則去孤立變數 'x'。
解指數方程
我哋而家有一個強大嘅新方法，就係利用對數。
例子：解 $$2^x = 5$$
'x' 困喺冪嘅位置。我哋要將佢「拉」落嚟！對數嘅冪的對數定律就最啱用啦。
- 兩邊取對數。最好用你計數機上嘅底數 10 對數（'log'）。
$$ \log(2^x) = \log(5) $$ - 使用冪的對數定律將 'x' 提出嚟。
$$ x \log(2) = \log(5) $$ - 解出 x。記住，$$\log(2)$$ 同 $$\log(5)$$ 都只係數字。
$$ x = \frac{\log 5}{\log 2} $$ - 用你嘅計數機計出最終答案。
$$ x \approx 1.63 $$
解對數方程
主要目標係要「清走」啲對數。有幾種方法可以做到呢樣嘢。
例子一：單一對數等於一個數
解 $$ \log_3(x+4) = 2 $$
- 用「對數循環」轉換成指數形式。
$$ x+4 = 3^2 $$ - 解方程。
$$ x+4 = 9 $$
$$ x = 5 $$ - 檢查你嘅答案！呢個超重要㗎。對數嘅真數必須係正數。
檢查：喺原方程中，真數係 (x+4)。如果 x=5，咁 5+4=9，係正數。所以答案有效！
例子二：先合併對數
解 $$ \log(x+1) + \log(x-1) = \log 3 $$ （注意：無寫底數嘅 'log' 代表底數為 10）
- 使用對數定律將左邊合併成一個單一對數。「+」表示我哋使用積的對數定律。
$$ \log((x+1)(x-1)) = \log 3 $$ - 使真數相等。如果 $$\log A = \log B$$，咁 A 必定等於 B。
$$ (x+1)(x-1) = 3 $$ - 解結果方程。呢個會變成一個二次方程！
$$ x^2 - 1 = 3 $$
$$ x^2 = 4 $$
$$ x = 2 $$ 或 $$ x = -2 $$ - 檢查兩個答案！
- 檢查 x=2： 喺原方程中，我哋有 $$\log(2+1)=\log(3)$$ 同 $$\log(2-1)=\log(1)$$。兩個真數 (3 同 1) 都係正數。所以，$$x=2$$ 係一個有效解。
- 檢查 x=-2： 喺原方程中，我哋會得到 $$\log(-2+1)=\log(-1)$$。我哋唔可以對負數取對數！所以，我哋必須捨去 $$x=-2$$。
唯一嘅解係 $$x=2$$。睇下檢查有幾重要呢？
重點回顧：解方程
- 要解 $$a^x=b$$，就對兩邊取對數並使用冪的對數定律。
- 要解對數方程，嘗試令兩邊都只得單一對數，或者轉換成指數形式。
- 永遠，永遠，永遠都要檢查你對對數方程嘅答案，確保你唔係對負數或零取對數。
第四部分：現實世界嘅應用與宏觀視角
你可能好奇：「我幾時會用到呢啲嘢？」答案係：大把機會用到！呢啲概念描述咗世界點樣運作。
點解我哋要關注？現實生活應用
- 黎克特制（地震）：呢個係一個對數標度。6級地震嘅威力比5級地震大10倍，比4級地震大100倍。對數可以幫助我哋以簡單嘅方式處理呢啲巨大嘅差異。
- 分貝（聲音）：聲音強度都係用對數標度嚟量度。70分貝嘅聲音（吸塵機）能量比60分貝嘅聲音（對話）大10倍。
- 金融（複利息）：你銀行戶口嘅存款，就係多得複利息而以指數方式增長㗎。
你唔需要背熟呢啲公式，但能夠欣賞對數點樣令大數字變得易於處理，已經好好。
你知唔知？小歷史教室
喺計數機發明之前，科學家點樣乘數值巨大嘅數字，好似 5,182.7 × 9,456.3 咁呢？嗰時又慢又難㗎！
喺17世紀，一位數學家約翰·納皮爾（John Napier）發明咗對數。利用定律 $$ \log(MN) = \log M + \log N $$，佢意識到可以將任何困難嘅乘法問題變成簡單嘅加法問題！人們會喺一本厚厚嘅對數表中查找兩個數字嘅對數，將佢哋相加，然後再搵返對應嗰個和嘅數字。呢個發明徹底改變咗科學同工程界300年，直到計數機嘅出現先至取代佢。
章節總結：你搞得掂㗎！
搞掂！睇落可能好多嘢，但其實都歸結於幾個核心概念。
- 指數函數 ($$y=a^x$$) 關乎快速增長或衰減。佢哋嘅關鍵係指數定律。
- 對數函數 ($$y=\log_a x$$) 係佢哋嘅「逆函數」，提出「係咩冪次？」嘅問題。佢哋嘅關鍵係對數定律。
- 兩者之間嘅連結係 $$y=a^x \iff x=\log_a y$$。務必掌握呢種轉換。
- 解方程時，使用定律去孤立 'x'，同埋永遠檢查你嘅對數解！
多加練習呢啲概念，你好快就會成為高手。祝你好運！