章節：數據表示——從我們的世界到電腦的世界
大家好！你有沒有想過，你的電腦是怎樣理解你正在看的照片、聽的音樂，甚至是你現在正在閱讀的文字呢？這可不是魔法！電腦有它自己一套獨特的語言，而在這一章，我們將會學習如何「說」這種語言。我們會一起探索各種資訊——從一個簡單的數字到一段複雜的影片——是如何被轉化成電腦能夠理解的格式。
理解這一點是資訊及通訊科技（ICT）中一項非常基礎的技能，這就像在學會閱讀前，必須先學習字母表一樣。讓我們一起深入探索並解讀數碼世界吧！
1. 類比數據與數碼數據：兩個世界
在我們的世界裡，大部分事物都是類比的。而在電腦的世界裡，一切都是數碼的。讓我們來看看這代表甚麼。
什麼是類比數據？
想像一下電燈的調光器，你可以平穩地轉動旋鈕，獲得從完全關閉到完全亮起之間，無限種亮度的級別。
類比數據是連續的，意思是它在一個範圍內可以有無窮多的數值。
真實世界例子：你的聲音聲波、房間的溫度、真實日落中的顏色。
什麼是數碼數據？
現在，想想一個標準的電燈開關。它只有兩個位置：開（ON）或關（OFF）。兩者之間沒有任何中間狀態。
數碼數據是離散的，意思是由固定數量的獨立數值來表示。在電腦中，這被簡化為兩個數值：0（關閉）和1（開啟）。每一個0或1都稱為一個位元（英文binary digit的縮寫）。
真實世界例子：書中的文字（由獨立的字母組成）、足球比賽的比分、你今天走的步數。
不同世界間的轉換
電腦無法理解真實世界中平穩、連續的性質。因此，我們需要將類比數據轉換為數碼數據，電腦才能夠處理。
類比轉數碼轉換（ADC）：這是指我們捕捉真實世界的數據並將其轉化為0和1。
例子：用手機麥克風錄製你的聲音。麥克風捕捉類比聲波，手機的硬件將其轉換為數碼音頻檔案。數碼轉類比轉換（DAC）：這是指電腦將其0和1轉換回我們可以體驗的事物。
例子：播放MP3檔案。電腦將數碼數據發送到你的耳機或揚聲器，這些設備將數據轉換回你可以聽到的類比聲波。
為什麼電腦「鍾情」數碼數據？
那麼，為什麼要這麼麻煩呢？我們為什麼不直接建造類比電腦呢？資訊科技（IT）系統使用數碼數據有幾個主要原因：
可靠性：數碼訊號更具抗干擾能力（雜訊）。即使「1」有點失真，它仍然是「1」，但類比訊號的任何失真都會改變資訊本身。
完美複製：你可以將數碼檔案複製數百萬次，最後一個副本也會與第一個副本一模一樣。想想複製MP3檔案和複製舊式卡式錄音帶的區別——錄音帶的質量會隨著每次複製而變差！
易於處理：電腦本質上是由數十億個微型開關（電晶體）組成的，這些開關只能處於開啟或關閉狀態。這與數碼數據的1和0完美匹配。
高效儲存：大量的數碼數據可以儲存在非常小的物理空間中（例如在一張微型記憶卡上）。
位元的力量
你使用的位元數量決定了你可以表示多少種不同的事物。關係很簡單：使用 n 個位元，你可以創建 $$2^n$$ 種獨特的組合。
1個位元可以表示 $$2^1$$ = 2 種事物（例如：開/關、真/假）
2個位元可以表示 $$2^2$$ = 4 種事物（例如：00, 01, 10, 11）
3個位元可以表示 $$2^3$$ = 8 種事物（例如：八種不同的顏色）
一組8個位元稱為一個位元組。一個位元組可以表示 $$2^8$$ = 256 種不同的組合。
這個簡單的原理是接下來所有內容的基礎！
重點提示
真實世界的數據大多是類比（連續）的，但電腦只理解數碼數據（離散值，即0和1）。我們在這兩種形式之間進行轉換，以便與電腦互動。電腦使用數碼數據是因為它可靠、易於完美複製，並且處理和儲存效率高。
2. 數字系統：電腦的語言
我們習慣使用十進制（或稱十進位，基數為10）系統，它使用十個數字（0-9）。電腦則使用基於2的冪次的其他系統。讓我們學習如何在這幾種系統之間轉換。別擔心，這就像學習一種新的密碼一樣！
十進制（基數10）轉二進制（基數2）
要將十進制數字轉換為二進制，我們使用重複除以2的方法。
循序漸進指南：將十進制25轉換為二進制
1. 將數字除以2，並記下餘數。
2. 使用結果（商）作為你的新數字，並重複此過程。
3. 持續進行，直到結果為0。
4. 二進制數字是從底部向上讀取的餘數。
25 ÷ 2 = 12 餘數 1
12 ÷ 2 = 6 餘數 0
6 ÷ 2 = 3 餘數 0
3 ÷ 2 = 1 餘數 1
1 ÷ 2 = 0 餘數 1
從底部向上讀取餘數，我們得到 11001。所以，$$25_{10} = 11001_2$$。
二進制（基數2）轉十進制（基數10）
要將二進制轉換為十進制，我們使用位值，這些位值是2的冪次。
循序漸進指南：將二進制11001轉換為十進制
1. 寫下二進制數字。
2. 在每個數字上方（從右到左），寫下它的位值，從 $$2^0=1$$ 開始，然後是 $$2^1=2$$、$$2^2=4$$，依此類推。
3. 將所有為 1 的數字對應的位值加起來。
位值： 16 8 4 2 1
二進制數字： 1 1 0 0 1
現在，將有「1」的位值相加：$$16 + 8 + 1 = 25$$。所以，$$11001_2 = 25_{10}$$。成功了！
十六進制（基數16）
二進制數字會變得非常長，難以讓人閱讀。十六進制（或簡稱Hex）是一種基數為16的系統，用作二進制的速記。它使用數字0-9，然後用字母A-F來表示數值10-15。
十六進制數字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)
二進制與十六進制之間的轉換
這是最簡單的部分！因為 $$16 = 2^4$$，所以每一個十六進制數字都恰好對應 四個 二進制數字。
記憶輔助：二進制轉十六進制轉換表
0000 = 0 | 0100 = 4 | 1000 = 8 | 1100 = C (12)
0001 = 1 | 0101 = 5 | 1001 = 9 | 1101 = D (13)
0010 = 2 | 0110 = 6 | 1010 = A (10) | 1110 = E (14)
0011 = 3 | 0111 = 7 | 1011 = B (11) | 1111 = F (15)
循序漸進指南：二進制轉十六進制
將二進制數字11011010轉換為十六進制。
1. 將二進制數字從右邊開始，分成每4位一組。
1101 1010
2. 使用表格將每組4位元的數字轉換為其十六進制等效值。
1101 = D
1010 = A
3. 組合結果。所以，$$11011010_2 = DA_{16}$$。
循序漸進指南：十六進制轉二進制
將十六進制數字5F轉換為二進制。
1. 獨立取出每個十六進制數字。
5 F
2. 將每個數字轉換為其4位元二進制組。
5 = 0101
F = 1111
3. 組合結果。所以，$$5F_{16} = 01011111_2$$。
你知道嗎？十六進制常被用於網頁設計中表示顏色。例如，#FF0000代表純紅色。前兩位數字（FF）代表紅色，接下來的兩位（00）代表綠色，最後兩位（00）代表藍色。
重點提示
電腦使用二進制（基數2）。我們使用十進制（基數10）。十六進制（基數16）是長二進制數字的便捷速記方式。你必須能夠在這三種系統之間進行轉換。關鍵是記住轉換方法：重複除法和位值。
3. 處理負數：二補數
到目前為止，我們只看過正數。但是電腦如何表示-25呢？它不能只是在1和0前面加上一個負號。最常用的方法稱為二補數。
即使一開始覺得有點難，也別擔心，這是一個你可以循序漸進學習的過程。我們將使用一個8位元數字作為例子。在一個8位元的帶符號數字中，第一個位元（即最高有效位，簡稱MSB）告訴我們它的符號：0代表正數，1代表負數。
如何尋找二補數
循序漸進指南：使用8位元二補數表示-25
1. 從正數的二進制表示開始。
首先，找出+25的二進制。我們知道它是11001。在8位元中，我們加上前導零：$$00011001$$。
2. 翻轉所有位元。
將每個0翻轉為1，每個1翻轉為0。這一步驟稱為「一補數」。
由：0001 1001
轉為：1110 0110
3. 結果加1。
將翻轉後的數字加1。
1110 0110
+ 1
-----------------
= 1110 0111
所以，在8位元二補數中，-25 表示為 11100111。請注意，第一個位元是1，表示這是一個負數！
為什麼要用這種特別的方法？
主要原因是它使電腦的減法變得異常簡單。要減去一個數字，電腦只需加上它的負數版本。所以，$$10 - 5$$ 會變成 $$10 + (-5)$$。這意味著電腦的電路（算術邏輯單元，ALU）只需要知道如何進行加法運算，從而簡化了其設計。
重點提示
二補數是電腦中表示負整數的標準方法。要找到一個數字的二補數，你首先要將它轉換為正數的二進制形式，然後翻轉所有位元，再加1。
4. 二進制算術：電腦如何計算
現在我們知道如何表示正數和負數了，接下來讓我們看看電腦是如何進行簡單計算的。
二進制加法
二進制加法遵循四個簡單的規則：
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0，並向前一位進位1。
例子：將9 (1001) 和 5 (0101) 相加
1 (進位)
1 0 0 1 (9)
+ 0 1 0 1 (5)
--------------
1 1 1 0 (14)
讓我們驗證一下：8+4+2 = 14。沒錯！
使用二補數進行二進制減法
正如我們之前提到的，電腦在減法上會「偷步」。要計算 A - B，電腦實際上會執行 A + (-B)，其中 -B 是 B 的二補數。
例子：使用8位元二補數計算 9 - 5
1. 表示數字：
+9 = 0000 1001
+5 = 0000 0101
2. 尋找你要減去的數字（-5）的二補數：
+5 = 0000 0101
翻轉：1111 1010
加1：1111 1011（這就是-5）
3. 將第一個數字和二補數結果相加：
1 1 1 1 1 (進位)
0000 1001 (9)
+ 1111 1011 (-5)
-----------------
(1)0000 0100 (4)
我們得到答案0000 0100，即4。請注意，最後有一個額外的「進位」位元。在使用二補數進行減法時，我們只需忽略這個最終的進位位元。
溢出錯誤
電腦使用固定數量的位元來儲存數字（例如8位元、16位元）。如果計算結果太大而無法容納怎麼辦？這稱為溢出錯誤。
快速複習：數字範圍
一個n位元空間可以容納一定範圍的數字。例如，使用8位元二補數：
最小的數字是-128 ($$-2^{7}$$)
最大的數字是+127 ($$2^{7} - 1$$)
溢出錯誤例子
讓我們用8位元來相加100 + 50。結果應該是150。
100 = 0110 0100
50 = 0011 0010
1 (進位)
0110 0100 (100)
+ 0011 0010 (50)
-----------------
1001 0110
我們得到的答案是10010110。看看第一個位元！它是1，這表示電腦認為這是一個負數。我們將兩個正數相加，卻得到了一個負數結果。這明顯是一個溢出錯誤的跡象。數字150太大，無法放入一個8位元的帶符號整數中。
避免常犯錯誤
溢出只會發生在以下情況：
你將兩個正數相加，而結果的符號位元是1（負數）。
你將兩個負數相加，而結果的符號位元是0（正數）。
將一個正數和一個負數相加絕不會導致溢出。
重點提示
電腦使用簡單的規則執行加法，並透過加上二補數來處理減法。當計算結果超出可用位元數所能儲存的值範圍時，就會發生溢出錯誤。
5. 字元表示法：從「A」到「字」
數字很棒，但是文字呢？電腦是如何儲存字母「A」或字元「?」的呢？答案很簡單：每個字元都被分配一個唯一的二進制數字。這些分配在稱為字元集的標準中定義。
ASCII（美國資訊交換標準碼）
這是最早且最簡單的標準之一。
它使用7位元，可以表示 $$2^7 = 128$$ 種不同的字元。
這足以表示所有英文大寫和小寫字母、數字0-9以及常用的標點符號。
後來，「延伸ASCII」使用8位元（$$2^8 = 256$$ 個字元）來添加一些歐洲語言的符號和字元。
ASCII的問題：256個字元遠不足以表示世界上所有語言的字元！
大五碼（Big-5）和國標碼（GB）
為了解決中文的問題，創建了不同的字元集。
大五碼（Big-5）：台灣和香港常用的一種標準，用於表示繁體中文字元。
國標碼（GB）：中國大陸常用的一種標準，用於表示簡體中文字元。
這些的問題：這些系統可能會產生衝突。一個使用大五碼編碼的文檔，在預期使用國標碼的系統上會顯示為亂碼。這造成了很大的混淆。
萬國碼（Unicode）
萬國碼是現代的通用解決方案。
它的目標是為每種語言中的每個字元提供一個唯一的數字，無論使用什麼平台或程式。
它可以表示超過140,000個字元，包括現代和歷史文字、符號，甚至表情符號！😊
UTF-8是實現萬國碼最常見的方式，並且是全球資訊網（World Wide Web）上主流的字元編碼。
萬國碼通過為所有人創建一個龐大、通用的字元集，解決了標準衝突的問題。
重點提示
字元由字元集中定義的唯一二進制代碼表示。ASCII是早期用於英文的標準。大五碼（Big-5）和國標碼（GB）是為中文開發的，但可能產生衝突。萬國碼（Unicode）是現代的通用標準，旨在包含每種語言中的每個字元，解決了這些衝突。一個字元集使用的位元越多，它能表示的字元就越多。
重要提示：你的考試需要你知道這些標準的目的，而不是記住任何字母的特定二進制代碼！
6. 數碼化多媒體：將圖像、聲音和影片變為現實
我們已經講了數字和文字，那麼我們每天使用的豐富媒體呢？所有多媒體也必須進行數碼化（轉換為二進制）。
表示圖像
最常見的數碼圖像類型是位圖（或稱點陣圖）。
想像圖像是一個網格。網格中的每個方格都是一個像素（圖像元素）。
電腦儲存每個像素的顏色值。
解像度：網格中的像素數量（例如，1920 x 1080）。更高的解像度意味著更清晰的圖像，但檔案大小會更大。
色深：用於儲存每個像素顏色的位元數。更多的位元意味著更多可能的顏色，但檔案大小也會更大。例如，24位元「真彩色」使用8位元表示紅色，8位元表示綠色，8位元表示藍色，可以表示 $$2^{24}$$ （約1670萬）種不同的顏色！
圖像檔案格式
BMP（位圖）：無壓縮。儲存每個像素的數據。這意味著完美的圖像品質，但檔案大小非常大。
JPG/JPEG（聯合圖像專家組）：使用有損壓縮。它巧妙地丟棄了人眼最不容易察覺的一些圖像數據。這大大減小了檔案大小，非常適合網頁上的照片。然而，部分品質會永久損失。
PNG（可攜式網絡圖像）：使用無損壓縮。它找到了巧妙的方法來更有效地儲存像素數據，而不會丟棄任何數據。品質是完美的（如同BMP），但檔案大小較小。它非常適合圖形、標誌和需要透明背景的圖像。
表示聲音
要將連續的聲波數碼化，需要使用一種稱為抽樣（或取樣）的過程。
聲波的高度（振幅）以每秒數千次的固定間隔進行測量。
每個測量值，或稱「樣本」，都以二進制數字儲存。
當你播放聲音時，電腦讀取這些數字並生成一個聲波，這個聲波與原始聲波非常接近。
聲音檔案格式
WAV（波形音頻檔案）：無壓縮音頻。它儲存每個樣本的值。這提供了卓越的錄音室級別品質，但檔案非常大（一分鐘音樂約10MB）。
MP3（MPEG音頻層-3）：使用有損壓縮。就像圖像的JPG一樣，它會移除人類最不可能聽到的部分聲音。這大大減小了檔案大小（一分鐘音樂約1MB），使其非常適合便攜式音樂播放器和串流媒體。
表示影片
影片比你想像的要簡單：它只是一系列非常快速顯示的圖像（稱為影格或幀），並結合了一條音軌。
幀率（每秒影格數，或fps）決定了運動的流暢度。常見的幀率是24、30和60 fps。
影片檔案幾乎總是經過壓縮的，因為未壓縮的影片數據量非常龐大。
影片檔案格式
AVI（音頻視頻交錯）：一種較舊的容器格式。它可以容納以多種不同方式壓縮的影片和音頻。檔案大小差異很大。
MPEG-4（或MP4）：一種現代標準，使用非常高效的方法進行高度壓縮。它能在相對較小的檔案大小下提供良好的影片品質，使其成為在線影片（例如在YouTube上）和流動設備最流行的格式。
文件格式
TXT（純文本）：只儲存字元本身（使用ASCII或萬國碼）。沒有粗體、斜體或字體大小等格式。檔案大小非常小。
PDF（可攜式文件格式）：以固定版面儲存文字、字體、圖像和格式。文件在任何電腦上看起來都會一樣，這是它的主要優點。
DOCX / ODT：這些是文字處理器（如Microsoft Word的DOCX和LibreOffice Writer的ODT）使用的複雜格式。它們儲存文字、格式資訊、圖像、表格等等。
重點提示
所有多媒體都是數碼化的。圖像是像素的網格。聲音透過抽樣聲波來捕捉。影片是一系列帶有音頻的圖像影格。檔案格式使用不同的壓縮技術來管理檔案大小。無損壓縮在不損失品質的情況下減小大小（PNG）。有損壓縮使檔案小得多，但會永久移除一些數據（JPG、MP3）。