歡迎來到軌跡的世界！
各位同學好！歡迎來到軌跡這個課題。「軌跡」這個詞聽起來可能有點花巧，但它背後的概念超級簡單，而且實際上非常視覺化。把它想像成一場尋寶遊戲吧。地圖上的指示（「站在離大橡樹五步遠的地方」）描述了一條路徑或一組可能的位置。在數學中，這條路徑就是軌跡！
在本章中，你將學習如何用文字和圖形來描述這些路徑，然後，最重要的是，用代數的語言——方程來描述它們！這項技能是幾何（圖形）和代數（方程）之間極佳的橋樑。
那麼，到底甚麼是軌跡呢？
軌跡是指符合某個給定規則或條件的所有點的集合。它是指一個點按照特定規則移動時，所描繪出的完整路徑或區域。
想像一下時鐘秒針的末端。當它移動時，它總是與中心保持相同的距離。它所描繪出的路徑是一個圓形。這個圓形就是秒針末端的軌跡。
快速重溫：距離公式
在我們深入探討之前，讓我們重溫一個我們將會用到的關鍵工具：距離公式。它幫助我們找出坐標平面上任意兩點，例如 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$ 之間的距離。
公式是：
$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$我們將會大量使用這個公式，將幾何規則轉化為方程。別擔心，你會有足夠的練習機會！
「五大」：你的軌跡工具箱
讓我們探索五種最常見的軌跡類型。掌握這些是精通這個課題的關鍵。對於每一種，我們都會看看它的條件、它形成的形狀，以及如何描述它。
軌跡 1：與一個定點相距一固定距離
條件
一個點移動，使其與一個定點（我們稱它為 C）的距離始終保持固定（我們稱它為 r）。
結果：一個圓
這就是圓形的經典定義！
讓我們想像一下
想像一隻狗被繫在柱子上。柱子是定點，而狗繩的長度是固定距離。狗能以繩子伸展的極限所走的路徑，就是一個完美的圓形。
如何描述
該點的軌跡是一個以定點為圓心，以固定距離為半徑的圓形。
軌跡 2：與兩個給定點等距
條件
一個點移動，使其與兩個不同的定點（例如 A 和 B）的距離始終相同（等距）。
結果：垂直平分線
該軌跡是連接這兩點的線段的垂直平分線。
讓我們想像一下
想像Amy（A點）和Ben（B點）兩個朋友站在一片草地上。如果你想站在一個與Amy和Ben的距離都完全相同的位置，你必須站在一條直線上的某處，這條直線正好以直角將他們之間切開。
如何描述
該點的軌跡是連接點 A 和 B 的線段的垂直平分線。
軌跡 3：與一條直線相距一固定距離
條件
一個點移動，使其與一條固定直線的距離始終保持固定。
結果：一對平行線
該軌跡是一對平行線，每條線位於原線的一側，並與原線保持指定的固定距離。
讓我們想像一下
想想游泳池泳道上的畫線。中間的浮繩是固定直線。泳道的邊緣與中間的浮繩始終保持相同的距離。它們形成了兩條平行線。
如何描述
該點的軌跡是一對平行於給定直線的直線。
軌跡 4：與兩條平行線等距
條件
一個點移動，使其與兩條平行線的距離始終相同。
結果：中間的一條平行線
該軌跡是一條單獨的直線，平行於兩條給定直線，並且恰好位於它們的中點。
讓我們想像一下
想像一條有兩條平行路緣石的道路。路面上繪製的中心線與兩條路緣石始終保持相同的距離。這條中心線就是軌跡。
如何描述
該點的軌跡是一條平行於並位於兩條給定平行線中間的直線。
軌跡 5：與兩條相交直線等距
條件
一個點移動，使其與兩條相交直線的距離始終相同。
結果：一對角平分線
該軌跡是由兩條相交直線所形成角的一對角平分線。這兩條平分線將始終互相垂直。
讓我們想像一下
想像兩條相交的直路。如果你以一種方式行走，使你與兩條道路的邊緣始終保持相同的距離，你將會沿著將道路之間角度精確地一分為二的線行走。由於有兩對角，所以有兩條這樣的路徑（它們形成一個交叉）。
如何描述
該點的軌跡是兩條給定直線之間角的一對角平分線。
繪圖的重點提示
當你讀到軌跡問題時，首先確定它符合這五種條件中的哪一種。想像現實世界中的類比，真的可以幫助你繪製出正確的圖形！
用代數表達：尋找軌跡方程
現在來到真正酷的部分：將這些幾何規則轉化為代數方程。這就是你可以毫無疑問地證明形狀是什麼的地方！剛開始時如果覺得有點難，別擔心，這是一個越練越熟的過程。
尋找軌跡方程的黃金法則
這是一個每次都有效的分步方法：
1. 定義點： 設移動點為 $$P(x, y)$$。這是將描繪出我們軌跡的點。
2. 將文字轉化為數學： 使用坐標將給定條件寫成數學表達式。這通常涉及距離公式。
3. 簡化： 進行代數運算，將方程簡化為最終形式。
例子 1：垂直平分線
問題：求與點 A(1, 3) 和 B(5, 7) 等距的點 P 的軌跡方程。
分步解題：
1. 定義點： 設移動點為 $$P(x, y)$$。
2. 將文字轉化為數學： 條件是「與 A 和 B 等距」。這意味著距離 PA 必須等於距離 PB。
因此，PA = PB。
現在，讓我們使用距離公式：
$$ \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 7)^2} $$溫馨提示： 為了擺脫惱人的平方根，我們可以將兩邊平方！處理 $$PA^2 = PB^2$$ 會容易得多。
$$ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 5)^2 + (y - 7)^2 $$3. 簡化： 現在，展開括號。小心你的代數運算！
$$ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 14y + 49) $$$$x^2$$ 和 $$y^2$$ 項出現在兩邊，所以它們可以互相抵消。太好了！
$$ -2x + 1 - 6y + 9 = -10x + 25 - 14y + 49 $$讓我們把所有項合併：
$$ -2x - 6y + 10 = -10x - 14y + 74 $$現在，將所有項移到一邊，使方程整潔。讓我們把所有東西都移到左邊。
$$ (-2x + 10x) + (-6y + 14y) + (10 - 74) = 0 $$ $$ 8x + 8y - 64 = 0 $$我們可以將所有項除以 8 來簡化它：
$$ x + y - 8 = 0 $$答案： 軌跡方程是 $$x + y - 8 = 0$$。這是一條直線的方程，證實了我們的幾何結果（垂直平分線）。
例子 2：圓形
問題：求與點 C(2, -4) 始終相距 3 個單位長的點 P 的軌跡方程。
分步解題：
1. 定義點： 設移動點為 $$P(x, y)$$。
2. 將文字轉化為數學： 條件是「點 P 到點 C 的距離始終為 3」。
因此，PC = 3。
使用距離公式：
$$ \sqrt{(x - 2)^2 + (y - (-4))^2} = 3 $$ $$ \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 4)^2} = 3 $$3. 簡化： 再次，讓我們將兩邊平方以消除平方根。
$$ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 3^2 $$ $$ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 9 $$答案： 軌跡方程是 $$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 9$$。這正是我們所預期的圓形標準方程！
例子 3：拋物線
問題：求與點 F(0, 2) 和直線 L（方程為 y = -2）等距的點 P 的軌跡方程。
分步解題：
1. 定義點： 設移動點為 $$P(x, y)$$。
2. 將文字轉化為數學： 條件是點 P 到點 F 的距離等於點 P 到直線 L 的距離。
距離 $$PF$$ 很簡單，使用距離公式：
$$ PF = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} $$從點 $$(x,y)$$ 到水平線 $$y=k$$ 的距離就是 $$|y-k|$$。因此，點 $$P(x,y)$$ 到直線 $$y=-2$$ 的距離是 $$|y - (-2)| = |y+2|$$。
我們的條件是 PF = (點 P 到直線 L 的距離)。
$$ \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = |y + 2| $$3. 簡化： 讓我們將兩邊平方。
$$ x^2 + (y - 2)^2 = (y + 2)^2 $$展開括號：
$$ x^2 + (y^2 - 4y + 4) = (y^2 + 4y + 4) $$$$y^2$$ 和 $$4$$ 項可以從兩邊抵消！
$$ x^2 - 4y = 4y $$現在，讓我們將 y 單獨放在一邊。
$$ x^2 = 8y $$ $$ y = \frac{1}{8}x^2 $$答案： 軌跡方程是 $$y = \frac{1}{8}x^2$$。這是一個開口向上的拋物線方程，形式為 $$y=ax^2+bx+c$$（這裡 b 和 c 為零）。
注意！常見錯誤及應試貼士
常見錯誤，小心避免
- 忘記「一對」： 對於軌跡 3（與一條直線相距固定距離）和軌跡 5（與相交直線等距），答案是一對直線。不要只畫一條！
- 代數錯誤： 展開括號時要非常小心，特別是負號。例如，$$(y-3)^2$$ 不是 $$y^2 - 9$$。
- 混淆條件： 仔細閱讀題目。它是「與一個點相距固定距離」（圓形）還是「與兩個點等距」（垂直平分線）？它們聽起來相似，但結果卻大相徑庭。
應試必勝貼士
- 先畫草圖！： 在你開始任何代數運算之前，先快速粗略地畫出點和/或線的草圖。這會幫助你預測軌跡應該是什麼樣子。如果你的最終方程是一個圓形，但你的草圖卻暗示一條直線，你就知道你在某處犯了錯誤！
- 兩邊平方： 為了讓你的運算更輕鬆，在處理「等距」條件時，總是使用 $$(\text{距離})^2$$ 的形式。它可以在一開始就消除平方根。
- 展示步驟： 在代入公式之前，清楚地寫下條件（例如，PA = PB）。即使你稍後犯了一個小計算錯誤，這也能向考官表明你知道自己在做什麼。
重點提示：你的軌跡溫習小抄
這是我們所涵蓋內容的快速總結。用它來溫習吧！
條件 1： 與一個定點相距一固定距離。
軌跡： 一個圓形。
條件 2： 與兩個定點等距。
軌跡： 連接它們的線段的垂直平分線。
條件 3： 與一條固定直線相距一固定距離。
軌跡： 一對平行線。
條件 4： 與兩條平行線等距。
軌跡： 一條位於它們中間的平行線。
條件 5： 與兩條相交直線等距。
軌跡： 一對角平分線。
你做得到！多加練習這些概念，你會發現軌跡是幾何學中最有邏輯且最令人滿意的課題之一。