函數與圖像：終極學習指南！
各位同學！歡迎嚟到函數與圖像嘅友好指南。如果呢個課題聽落有啲複雜，唔使擔心，我哋會將所有嘢拆解成簡單易明嘅部分。函數係數學入面其中一個最重要嘅概念，因為佢哋幫我哋描述周圍世界嘅各種關係，由籃球嘅軌跡到你電話費嘅計算方式都係。準備好未？我哋開始啦！
1. 到底咩係函數？
想像下函數就好似一部魔法販賣機。你放入一啲嘢（一個輸入），部機跟住特定嘅規則運作，然後俾返一啲嘢你（一個輸出）。
類比：販賣機
- 輸入：你按掣「B4」。
- 規則：部機知道「B4」代表「一包薯片」。
- 輸出：你得到一包薯片。
函數最重要嘅規則係：每個輸入只會對應一個輸出。如果你按「B4」有時得到薯片，有時又得到朱古力，咁部機就壞咗啦。佢就唔係一個函數！
你需要知道嘅關鍵詞彙
- 自變數 (Independent Variable)：呢個就係你嘅輸入。係你選擇放入函數嘅數值。我哋通常叫佢做 x。
- 因變數 (Dependent Variable)：呢個就係你嘅輸出。佢嘅數值取決於你選擇嘅輸入。我哋通常叫佢做 y 或者 f(x)。
- 定義域 (Domain)：所有可能輸入嘅集合（所有你可以使用嘅 x值）。
- 對應域 (Co-domain)：所有可能輸出嘅集合。
函數記法：f(x)
我哋經常用一種特殊嘅記法嚟表示函數，好似 f(x) 咁。你讀佢做「f x」。佢只係一個花俏嘅講法，意思係「當輸入係 x 時嘅輸出」。所以，y 同 f(x) 其實係同一樣嘢！
例子：假設我哋嘅函數規則係「將輸入加倍然後加一」。
用數學語言寫出嚟就係：$$f(x) = 2x + 1$$
- 如果我哋嘅輸入係 x = 3，我哋搵出輸出：$$f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$$
- 如果我哋嘅輸入係 x = -5，我哋搵出輸出：$$f(-5) = 2(-5) + 1 = -10 + 1 = -9$$
表示函數嘅三種方法
你可以用唔同嘅方式表示同一個函數：
1. 表格法 (列表)：
呢個方法好好，可以睇到具體嘅輸入-輸出配對。對於 $$f(x) = 2x + 1$$：
輸入 (x) | 輸出 (f(x))
-1 | -1
0 | 1
1 | 3
2 | 5
2. 代數法 (方程)：
呢個係規則本身。佢好強大，因為適用於任何輸入。
例子： $$f(x) = 2x + 1$$
3. 圖像法 (圖形)：
呢個會俾你一個函數嘅圖畫，顯示所有輸入同輸出之間嘅關係。對於像 $$f(x) = 2x + 1$$ 咁嘅線性函數，佢嘅圖像係一條直線。
第一節重點提要
函數係一個規則，佢接收一個輸入 (x)，並且恰好俾出一個輸出 (y 或 f(x))。你可以用表格、方程或圖像嚟表示佢。
2. 強大嘅二次函數：拋物線大全
你以前見過呢啲啦！二次函數有一個 $$x^2$$ 項，佢嘅圖像係一條靚靚嘅 U形曲線，叫做拋物線。
標準式係：$$y = ax^2 + bx + c$$（其中 'a' 不能為零）。
等我哋透過睇 a、b 同 c 嚟揭示圖像嘅秘密！
拋物線嘅特點
1. 開口方向：
呢個係最簡單嘅！完全取決於 'a' 嘅值。
- 如果 a > 0 (正數)，拋物線就向上開口。(諗下：a 係正數，所以係開心嘅樣 :) )
- 如果 a < 0 (負數)，拋物線就向下開口。(諗下：a 係負數，所以係傷心嘅樣 :( )
2. y軸截距：
呢個係圖像與 y軸相交嘅點。喺呢一點，x 永遠係 0。
如果 $$y = ax^2 + bx + c$$，你代入 $$x=0$$，你會得到 $$y = a(0)^2 + b(0) + c = c$$。
所以，y軸截距永遠係 (0, c)。超簡單！
3. 頂點：
呢個係拋物線嘅轉捩點。
- 如果拋物線向上開口，頂點就係最低點（一個最小值）。
- 如果拋物線向下開口，頂點就係最高點（一個最大值）。
4. 對稱軸：
呢條係一條垂直線，將拋物線分成兩個完美嘅鏡像。佢會穿過頂點。
呢條線嘅方程係 $$x = -b / (2a)$$。呢個公式超有用，因為頂點嘅 x座標都係 $$-b / (2a)$$！
5. x軸截距 (或 根)：
呢啲係圖像與 x軸相交嘅點。喺呢啲點，y 永遠係 0。所以，我哋係解緊方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$。
有幾多個 x軸截距呢？我哋可以用判別式 ($$\Delta = b^2 - 4ac$$) 嚟搵出答案！
- 如果 $$\Delta > 0$$，就有兩個不同嘅 x軸截距。(圖像與 x軸相交兩次)。
- 如果 $$\Delta = 0$$，就有一個 x軸截距。(頂點掂到 x軸)。
- 如果 $$\Delta < 0$$，就沒有實數 x軸截距。(圖像永遠唔會掂到 x軸)。
第二節重點提要
$$y = ax^2 + bx + c$$ 嘅圖像係一條拋物線。'a' 嘅正負號話你知佢係向上定向下開口。'c' 俾出 y軸截距。對稱軸係 $$x = -b / (2a)$$，佢亦都俾出頂點嘅 x座標。判別式就話你知圖像與 x軸相交幾多次。
3. 搵最大值同最小值
正如我哋所見，拋物線嘅頂點要唔係佢嘅最高點（最大值），就係最低點（最小值）。函數喺呢一點嘅「值」就係頂點嘅 y座標。
方法一：從圖像判斷 (適合所有同學)
如果俾咗個圖像你，呢個就係全世界最簡單嘅任務。
1. 搵出頂點（轉捩點）。
2. 讀取佢嘅 y座標。
3. 如果拋物線向上開口，咁佢就係你嘅最小值。
4. 如果拋物線向下開口，咁佢就係你嘅最大值。
方法二：代數法 (非基礎課題)
如果你只有方程，點樣搵到頂點呢？你有兩個好好嘅選擇。
選項A：使用對稱軸公式
呢個通常係最快嘅方法！
1. 使用公式搵出頂點嘅 x座標：$$x = -b / (2a)$$
2. 將呢個 x值代返入原有函數 $$y = ax^2 + bx + c$$，以搵出對應嘅 y值。
3. 呢個 (x, y) 配對就係你嘅頂點！y值就係你嘅最大值/最小值。
例子：搵出 $$y = 2x^2 - 8x + 5$$ 嘅最小值
- 喺呢度，a = 2，b = -8，c = 5。'a' 係正數，所以係最小值。
- 步驟1：頂點嘅 x座標 = $$-(-8) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2$$。
- 步驟2：代 x=2 返入去：$$y = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 2(4) - 16 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$$。
- 答案：頂點係 (2, -3)。函數嘅最小值係 -3。
選項B：配方法
呢個方法將方程嘅形式從 $$y = ax^2 + bx + c$$ 變換成頂點式 $$y = a(x - h)^2 + k$$。一旦變咗呢個形式，頂點就簡單係 (h, k)。
如果一開始覺得有啲難搞，唔使擔心，呢個只係需要多啲練習！
第三節重點提要
二次函數嘅最大值或最小值就係佢頂點嘅 y座標。你可以透過觀察圖像或使用公式 $$x = -b / (2a)$$ 以代數方式搵出頂點嚟搵到佢。
4. 用圖像解方程同不等式
圖像唔單止係靚靚嘅圖畫；佢哋係解決問題嘅強大工具！你只係需要睇下線同曲線喺邊度相交，就可以搵到解。
解 f(x) = k
圖像地解一個方程，例如 $$x^2 - 2x - 2 = 1$$，意思係搵出使佢成立嘅 x值。
逐步解說：
1. 將佢諗成兩個獨立嘅圖像：$$y = f(x)$$（曲線）同 $$y = k$$（水平線）。
2. 喺同一個坐標軸上，畫出 $$y = f(x)$$ 嘅圖像（例如 $$y = x^2 - 2x - 2$$）同直線 $$y = k$$（例如 $$y = 1$$）。
3. 解就係相交點嘅 x座標！
例子：使用 $$y = x^2 - 2x - 2$$ 嘅圖像，解 $$x^2 - 2x - 2 = 1$$。
你會畫出拋物線，然後畫出水平線 y=1。如果佢哋喺 x = -1 同 x = 3 相交，咁呢啲就係你嘅解。
解 f(x) > k 同 f(x) < k
呢個係關於搵出 x值嘅範圍，而唔係特定嘅點。
- 要解 f(x) > k，你係搵緊所有 $$y = f(x)$$ 圖像喺 $$y = k$$ 條線上方嘅 x值。
- 要解 f(x) < k，你係搵緊所有 $$y = f(x)$$ 圖像喺 $$y = k$$ 條線下方嘅 x值。
記憶小提示：諗下「>」係「大過」或「高過」（上方）。諗下「<」係「細過」或「低過」（下方）。
第四節重點提要
圖像地解 $$f(x) = k$$，就係搵圖像 $$y=f(x)$$ 同直線 $$y=k$$ 嘅相交點。要解 $$f(x) > k$$，就搵圖像喺條線上方嘅位置。要解 $$f(x) < k$$，就搵圖像喺條線下方嘅位置。
5. 圖像變換
圖像變換係移動、拉伸或翻轉圖像嘅方法。如果你知道一個基本函數，例如 $$y = f(x)$$ 嘅圖像，你就可以唔使重新列表嚟畫出新嘅相關圖像。
四種基本變換
等我哋用一個基本函數，$$y = f(x)$$。
1. 垂直平移：$$y = f(x) + k$$ (向上/向下移動)
- 如果 k 係正數，圖像會向上平移 k 個單位。
- 如果 k 係負數，圖像會向下平移 k 個單位。
呢個係直觀嘅，同你預期嘅完全一樣。
2. 水平平移：$$y = f(x + k)$$ (向左/向右移動)
- 如果 k 係正數（例如 $$f(x+3)$$），圖像會向左平移 k 個單位。
- 如果 k 係負數（例如 $$f(x-3)$$），圖像會向右平移 k 個單位。
警告：常見錯誤！呢個同你可能預期嘅相反。記住：x 會呃你！加到 x 會向負方向（左邊）移動，而從 x 減去會向正方向（右邊）移動。
3. 垂直拉伸/壓縮：$$y = kf(x)$$ (垂直拉伸/壓縮)
- 如果 $$|k| > 1$$，圖像會垂直拉伸（變得更高/更瘦）。
- 如果 $$0 < |k| < 1$$，圖像會垂直壓縮（變得更矮/更闊）。
- 如果 k 係負數，圖像仲會沿 x軸反射（上下顛倒）。
4. 水平拉伸/壓縮：$$y = f(kx)$$ (水平拉伸/壓縮)
- 如果 $$|k| > 1$$，圖像會以 1/k 嘅因子水平壓縮。
- 如果 $$0 < |k| < 1$$，圖像會以 1/k 嘅因子水平拉伸。
- 如果 k 係負數，圖像仲會沿 y軸反射（左右翻轉）。
呢個都係反直覺嘅，好似水平平移咁。括號入面嘅大 'k' 會將圖像水平擠壓。
你知唔知？
你喺二次函數圖像中見到嘅靚靚拋物線形狀，喺自然界同工程學隨處可見！拋擲物件嘅軌跡、衛星碟嘅形狀，同吊橋嘅纜索都係拋物線。
第五節重點提要
函數括號外面嘅變化（例如 $$f(x)+k$$ 同 $$kf(x)$$）會影響圖像嘅垂直方向。函數括號裡面嘅變化（例如 $$f(x+k)$$ 同 $$f(kx)$$）會影響圖像嘅水平方向，而且通常以反直覺嘅方式呈現。